Exemple IV. — Dëcom/oser en une somme de carrés
194 QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLf^iMENTAIRE.
multipliés par certaines quantités^ le polynôme P défini par V égalité suivante :
( t ) P = ( 06'— 2(ca'+(ïO)*- (** - 4(ic)(ft'*— 4a V).
En développant, on a
P=4(ac'+ca0^+4ac^'*+4«'(;'^«--466'(a5'+ca0— IGacaV, \'=k{a^'^cay\-^\ach'^-\-Mc'b''- 4^^(ac'-fca0 ;
puis, si Ton n)et ac en facteur dans^le second et le quatrième teime du ^développement précédent et que Ton complète un carré, il vient
4acft'»— 4ftft'(ac'-foa' =ac 2y ^ — -Ll-JL ^ ! L.
' \ ac f ac
{2acl/—bac'-^bcay-b\ac'-\-ca')* (
ao
Remplaçant enfin, dans la dernière expi-ession de P, le groupe du second et du quatrième lerme par le développement précédent, et réduisant au même dénominateur ac, on a
P — (4gc— 6*j(ac^— ca 0'+('2ac6^— fr(gc^+caO)*
c'est ce-qu'il fallait trouver.
194. Exemple V. — Soient Q et Q' les polynômes définis par les égalités.
Q =a{a&''Cay-^b{ac'—ca')(ab'-ba')-\-c{ab'^ba% (:y=a\ac'—ca')^--b\ac'-ca%ab''^a'}i^iab'-ba%
on propose de démontrer que l'on a
P étant le polynôme de Vcxemple précédent.
En multipliant et divisant par ^l'expression de Q, om a
^ iiac{ac''-caJ-\'kc^[aV--bay-\bc{ab'-ba'){a&'-ca') \^ — -— ,
Considérant ^ilors les deux derniers termes du numérateur de Q comme les deux premiers termes d'un carré, on trouve facilement que ce numérateur est égal à celui de P, et on en conclut immédiatement l'égalité (1). La formule (2) se dtimontre de la même manière.
