IDENTITÉS ALGÉBRIQUES DÉMONTRÉES PAR LA GÉOMÉTRIE

19€l. Exemple I. — Étant donnés quaire points a, b^ c, d placés sur une droite comme l'indique la figure (19) on démontre que Ton a toujours

(!) acxbd=:ad^ bc-{-abx cd.

M. Chastes indique dans la Géométrie supérieure une démonstration de cette identité fondée sur la considération du rapport anharmonique^ mais on peut la vérifier immédiatement en y remplaçant ad par ac -|- cd.

Prenons sur la droite un point o à gauche de a, et représentons les quatre distances oa, ob, oc^ od respectivement par

— ^ ) "IT j "^ î ""^T • A.lors les distances ac, frd, da, 6c, ab, cd d c d

peuvent s'exprimer au moyen des fractiods précédentes, et l'identité (I) devient

i? a'j'd' b'l~\d' a'jw b'r\b' âTd' &l

Mais en chassant les dénominateurs, on tombe sur l'identité (6) (162) qui se trouve ainsi démontrée parla Géométrie.

L'identité (6) a servi à démontrer un théorème important de la théorie des nombres (169) ; on verra (214) quel antre parti M. Hermite a tiré de la même identité pour démontrer le même théorème.

I W. Exemple II. — On a vu en géométrie que, si trois points a, 6, c sont en ligne droite et qu'un point m soit pris tiors de cette droite, on. a toujours

(1) am!^ xbc -{- brri^ X ca -f- cm^xa^-j-aè X 6cxca = 0,

les segments compris entre les trois points a, b, c, pris deux à deux, étant positifs ou négatifs, suivant que la distance entre deux des points est représentée par des lettres prises dans Tordre alphabétique ou dans l'ordre inverse.

L'identité (l) ayant lieu^ (luelqiie presque le point ?n soit de la droi^ subsistera encore lorsque, à la limite, le point