IDENTITÉS DÉMONTRÉES PAR LA GÉOMÉTRIE

viendra s'y placer. Représentons alors par œ la distance du point m à un point quelconque o à gauche de a, et soient aassi a, b, c, d les distances oa, ob, oc, od. Quant on substitue aux distances qui figurent dans l'identité (i) leurs expressions en a, 6, c, dy a*, on arrive à l'identité

[x — af (c — 6) + [x - bf (a - c) + (or — c)« (6 — a)

-f [b - a){c—b) {a — c)= 0, facile à vérifier.

On trouve d'autres beaux exemples dans la Géométrie supé-rieure de M. Chastes (pages 235 et suivantes).

EXERCICES SDR Lk DIVISION ET LE CALCUL DBS FRACTIONS.

tHê, Exercice I. — Démontrer que le polynôme

est toujours divisible par le produit

quand m est impair.

Le polynôme donné peut être considéré comme un polynôme du degré m — 1 par rapport à a, les différents coefficients étant indépendants de a. Si l'on y remplace a par — 6, et cela sans développer [a -\-b -\- c)^^ on trouve pour résultat zéro. Le polynôme est donc divisible par a -\- b. On prouve de même qu'il est divisible par a -(- c, b-\-c. Il est donc divisible par le produit (a -{- b) [a -{- c) [b -{- c).

lï©. Exercice II. — Prouver que le polynôme

2a^b^ + 2a^c^ + 2b^c* a* — 6* — c* est le produit des quatre facteurs

C'est là une conséquence immédiate de l'identité (1)(165), mais on demande une démonstration directe.

Le polynôme donné peut être considéré comme étant du quatrième degré en .a, et on trouve qu'il est divisible par '(^'\'b-\-c, parce qu'en y remplaçant a pai* — b — c ou a un résultat nul. On voit de la même manière que le polynôme donné est divisible par les autres trinômes donnés, et, par suite, il est divisible par le produit des quatre trinômes. Il est

198 QUESTIONS lyALGÈBBB ÉI^MSiTÂlBS.

éYident d'ailleurs que le quotient est l'noité. Eq effet le produit des quatre tnaomes étant on polrnome dn quatrième degré, le quotient est nécessairement numérique, et il ne peut être que l'unité, puisque si l'on considère deux termes semblables dans le polynôme donné et dans le produit des quatre trinômes, on voit que leurs coefficients sont égaux.

On peut encore opérer directement la décomposition du polynôme donné en quatre acteurs. A cet effet, on remplace 2a^l^ par 4a'ô*, — 2a*6*, et on a

4a>6» — (a* + 6* + 0* + 2aV — 2aV — 2iV)

Décomposant maintenant une différence de carrés en un produit de facteurs, on obtient

(2a6 + a* 4- 6« — c«)(c« — o« — 6» + 2ab), ou

Faisant encore la décomposition de chaque facteur en deux autres on obtient finalement

(a + 6-f c) (a + 6 — c)(a + c — 6)(c + ft — a).

190. Exercice III. — Lorsque m el n sont premiers entre eux^ le polynôme

est toujours divisible par le polynôme

Considérant en général x comme étant égal à (ar") , et remplaçant un quotient de la même forme que celui de la division

de a?** — oT par x — a par riudication de la division uou effectuée, on a

Mais, comme on le démoutre (276), netp étant premiers entre eux, on peut toujours déterminer deux nombres entiers g et h, tels que Ton ait

pn = Ap + 1 .