Calcul de certnlnes droite** dans les trlan^tep
en ronetion dc>B cdté». — Dans les exercices qui vont suivre on adoptera les notations habituelles : a,b^ c seront les côtés opposés respectivement aux angles A, B, G ; /r, A;, i les hauteurs correspondantes ; S, 2p^ R,r la surface, le périmètre et les rayons du cercle circonscrit et inscrit ; r', r", r"'' les rayons des cercles ex-inscrits, compris respectivement dans les angles A, B, C\ m etd désigneront encore la médiane et la bissectrice intérieure partant du sommet A.
Exercice I. — Démontrer les formules
(1) s = Vp(P --a)(p-b){p-c),
(3) S = pr = {p — a)r' = (p — by = {p — c)i '", ,„ „ abc ... , 2(6» -f c') - a»
Je ne reproduis pas ici les calculs bien connus qui servent à démontrer ces formules.
Exercice II. — Calculer, en fonction des côtés d'un triangle, l*' la distance du centre O du cercle circonscrit au côté a; 2" la distance du sommet A au point P d'intersectiod des hauteurs.
Soit e la première distance : un triangle rectangle donne
et en remplaçant R par la valeur que donne la lormule (4) (exercice 1), on a
Substituant maintenant à S*, dans le numérateur, la valeur tirée de la formule (2) (ex. l); on trouve le carré de 6*+ c* — a*, et si Ton. remplace au dénominateur 4S* par aVi*, il vient finalement
APPLICATIONS DES RÈGLES DU CALCUL ALGÉBRIQUE. ' 2ai
Ah
Pour obtenir la seconde distance que nous appelons g, nous prenons les triaiigles semblables APK, AHC (H et K sont les pieds des hauteurs // et k), et Ton a
b Mais, d'autre part, un théorème bien connu donne
donc
La comparaison des formules (1) et (2) montre que q est double de e.
Exercice III. — Démontrer que, dans tout triangle, la somme des distances du centre du cercle circonscrit anx trois côtés est égale d R + r.
Soient e, /*, g les distanças du centre du cercle circonscrit aux trois côtés. On pourrait faire la démonstration en remplaçant, dans l'égalité à démontrer, R, r, c, f, g parleurs valeurs en fonction des côtés {fet g se déduisent de e par un simple changement de lettres dans la formule (1) de l'exercice précédent); mais on fait le calcul avec plus d'élégance, comme il suit.
Les perpendiculaires e, f, g abaissées du centre sur les trois côtés du triangle le partagent en trois quadrilatères inscriptibles. Si Ton applique à chacun d'eux le théorème connu : . dans tout quadrilatère Inscriptible le produit des diagonales est égal à la somme des côtés opposés^ on aura
ec ga R6
gh fc Ra
10Î QUESTIONS DALGÈBRB ÉLÉMENTAIRE.
et en ajoutant œs égalités, membre à membre, il vient
(2) ^^ + c) + /(« + c)+(/(a + 6) = 2pR.
Mais on a aussi évidemment
(3) ea-{-fb+gc — 2S = 2pr:
alors, en ajoutant, mombre à membre, les égalités (2) et (3), on obtient
et le théorème est démontré.
Exercice IV. — Si dans un triangle ABC un côté a est constant ainst que la somme b-|- c des deux autres côtés^ la projection de la bissectrice de Cangle A sur Cun des côtés de cet angle a toujours la même longueur.
Soit AF (fig. 20) la projection de la bissectrice AD sur AB ; soit aussi tracé le cercle inscrit dont le centre est I et qui touche le côté AB en E. Menons DF parallèle à El, les triangles semblables AEI, AFD donneront, en obseiTant que le segment AE est égal à p — a,
m AF p-a
^^ FD ~ r '
Mais en écrivant que la somme de$ triangles ADB, ADG est égale au triangle ABC, on a
(2) {b + c) FD = 2pr,
et en multipliant, membre à membre, les égalités (1) et (2), il vient
(6 + c)AF = 2p(p-a), d'où
AF = ifcl^.
Les quantités 6 +c, 5p et p — a étant constantes, le théorème est démontré.
Remarque. — Le théorème peut encore s'énoncer ainsi : dans une ellipse y la projection de la normale^ sur Vun des rayons vecteurs passant par son pied sur la courbe^ a uM longueur constante.
