I^E -^—, DF
et, par suite, on obtient
On a ensuite dans le triangle ADE
et si Ton remplace dans cette égalité DE par la valeur qu'on a trouvée, il vient
. ^/^a2 (/^ ^ rfi^^y
Mettant enfin dans l'équation (i), pour EF, AE et CF les valeurs qu'on a calculées, on arrive à l'équation
(2) fte^ ^ é^f^ ^ Me^P — Ne^ — P/^ +.Q — R = 0, après avoir posé
On n*a point développé ici les calculs qui ne présentent rien d'inléressant; d'ailleurs on arrive plus simplement au but par la Trigooonaêtrie i Questions de Trigonométrie, problème VIII, page 183). Je saisis cette occasion pour placer ici une équation du problème cité qui a été oublié à Timpresàion, c'est l'équation
/a = a» -f di ^ 2ad cos A.
^il QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
Rehabql'b. — On peut considérer Téquation (2) comme établissant uue relation enti-e It^s trois côtés d'un triangle ABD et les droites qui joignent nu [loint C du plan à ses trois sommets. IjSl fîg'ii*e supxiose que le jK)int C e^t extérieur au triangle, mais ou s'assure facilement que la relation est générale.
EzBRCiCE II. — Si dans un qmxdrilaière on a
(!) ef=ac-\-bd.
on en conclut toujours
e ab-{-cd ^ ^ f~ ad + bc '
On remarque d'abord que la somme des deux premiers termes de l'équation (2), (ex. 1) est égale à e^f^ [e* -f" D^ O" (<*^ + ^^ (^ + /^J- Il ^û résulte que, dans cette équation, le polynôme formé du premier, du second, du quatrième et du cinquième terme est une fonction homogène et du second degré en e et /*. On est ainsi conduit à calculer la quantité Me*f* — Q -|- H ; car si celte quantité est homogène et du second degré par rapport à e et /*, on obtiendja une équation du second degré gui fera
connaître — .
En remplaçant ef par ac + bd dans l'expression qu'il s'agit de calculer, on trouve que cette expression passe par les formes suivantes :
2 {a^bcd-\-b^a cd+(^abd+abc(P'{'a^c^d''+a*bW-{-a^^c*'{-b^c*à^).
2a^cd{ab-}-cd)+2b^ad{bc+ad)+2c^ab{cd-^b)+2d^c{ad+bc),
2bd{ad-[-bc) {ab^d)'\-2ac{àb-\-cd){ad^bc),
2{ab-^ed) [ad-\-bc) (ac+M),
2{ab'\'Cd){ad-\'bc)ef.
L'équation (2), (ex. l) devient donc
((ac+W)«--N)éî24.((ac+6rf)«---P)/^--2(a/)+C(/)(a£^+6c;e/=0, ou, en remplaçant N et P par leurs valeurs,
((a6+cc?)c— (ad+6o)/)*=0.
De cette dernière équation ou tire
e ad -]- bo
c'est ce 'qu'il fallait démontrer.
Exercice IIL — Si dans un quadrilatère les côté^ opposés sont égaux, la somme des carrés des diagonales est-elle égale à la somme des carrés des quatre côtés ?
Lés côtés a et b devenant respectivement égaux k e eid, les formules (3) de l'exercice (t) deviennent
L'équation (2) du même exercice se réduit alors à
e^fne^-{-f^-2{a^+b^))-{a^-b^y(e^+f^}+2[a^+b^-a^
Le dernier terme de l'équation précédente étant égal à 2(a* -f" ^*) (^* — ^*)*î on voit que cette équation peut s'écrire
(ga 4- /2 -. 2 (a» 4- b^)i) [é^f^ — (a« — b^Y) = 0. et on y satisfait en posant (1) e«'+/^ = 2(a2 + 6*) ou |2) ef—a"^- b\
La première égalité montre que la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés du quadrilatère ; elle correspond au cas du parallélogramme. '
Quant à la seconde égalité, elle correspond au cas d'un trapèze isocèle ABGD dans lequel les diagonales ont la valeur commune a el les côtés AD et BG sont égaux à b. Les bases AB et CD du trapèze sont alors les diagonales e et fdu cas général, et il est facile de vérifier la relation (2).
