exercice» sur le» volumep. — NouS ne nOUS OC

cuperons ici que du tronc de pyramide et du segment sphérique.

Exercice I. — Trouver le volume V d*un tronc de pyramide dont la hauteur est h et les bases B et B', en le considérant comme la différence de deux pyramides qui ont respectivement pour base et hauteur, la plus grande, B et H, cl la plus petite^

On a

Pour arriver à l'expression connue du volume du tronc,*il 8'agit d'exprimer H et H' en fonction de B, B' et h et de substituer l^s valeurs obtenues dans la formule (t).

Faisons d'abord le calcul, tel qu'il se présente naturellement, sans chercher aucune simplification. De l'équation (2), on déduit d'abord

et, par suite, on a, par la combinaison ordinaire,

(5) H^ V'B H- \/B' , * y/B— vTB' 'h yfB — v^' '

Mettant maintenscnt dans Téquation (1) le» valeurs de H et H' tirées dés équations précédentes on obtient

V^ Bv^->BM/B^ /i yjB — y/'B' 3 '

Mais B V B et B' v/^"sont respectivement les cubes de V B

et \/B'> et si Ton pose V B et V B' respectivement égaux à a? et à, on a à diviser x^ — a* par x — a. Le quotient est x*'^' ax-^- a* ou, en remplaçant x et a par leurs valeurs,

B + B'+2VbB^;

on a donc bien l'expression demandée.

Le calcul eût été plus simple, si l'on avait d'abord transformé le second membre de l'équation (1) de manière à le rapprocher le plus possible de l'expression qu'on voulait trouver. A cet effet, on met en évidence les deux premières pyramides que l'on doit trouver, en ajoutant ensuite en signe contraire les termes que Ton a introduits ; on trouve ainsi

BH'— HB' , . ,

et tout revient à démontrer que 5 représente la

APPJ.ICATION A LA GÉOMÉTRIE. 207

troisième pyramide dans la formule demandée. Or c'est ce qui a lieu, car en substituant dans la quantité précédente les valeurs de H et H' données par les équations (5), on a

y/B-^yfW . VB- v/~B^.

On peut encore modifier le dernier calcul de manière à ne

faii'e arriver les radicaux qu'à la fin. Pour cela, multiplions les

H' deux membres de l'équation (2) par — ^^r- ; il viendra