H BH

H' HB' '

d'où .l'on déduit

BH^ — KW h BW ~H ' On aura, par suite,

BH' - HB' = -^ = ^ ^^' - = V BB^ /^ ^ B vTB '

ExERcicR II. — Trouver le volume V d\m segment sphétique à deux bases, en le considérant comme la somme ou la différence de deux segments à une base.

Supposons, pour fixer les idées, que le segment donné ABB'A' (flg. 22) soit la différence des deux calottes ABC A'B'C. Soient a et 6 la hauteur et la base de la calotte ABC, a' et b' celles de la calotte A'B'C, et r le rayon de la sphère.

Prenons d'abord pour expressions des volumes des ealottes sphériques.

on aura

Tra^ j r :^ I , ^a'* \r ^^ *'

On a d'ailleurs les trois équations

C?) 6« = 2ra - a\ (3) V^ = 2ra' — a'^

Ces trois dernières équations pourraient servir à exprimer

i»t Ai

208 gUKSTtONS D AUIKHRE ELEMENTAIRE.

a, a' r' en fonction de 6, 1/ et /i, et en substituant .les valeurs trouvées dans le second membre de la formule (1), on devrait obtenir Texpression demandée. Mais le calcul se présente avec plus d'élégance, comme il suit.

Mettant d'abord a — <?/ ou h en facteur dans le premier membre de la formule (1 ), on a

(5) V = "Y ((3K^ + ^') ~ ci« - a'* -- aa').

Mais si Ton ajoute, membre à membre, les équations (2) et (3), on trouve

et si Ton remplace dans la formule i5) r{a + ^') par la valeur que donne l'équation précédente, on obtient

(6) w=4-ib' + n+'^'

c'est la formule demandée.

Traitons maintenant la question en pi*enant pour expressions des calottes sphériques

—^ — I zr"i —^ — I s —

On a alors (7) V = 4- (a* — »'• + 3(a6* — a'I/*)) .

Éliminant r par réduction entre les épuations (2) et (3), ou obtient

et si l'on ajoute et retranche les deux quantités égales 3((3&'^^^'^) et 3aa'/i dans le second membre de la formule (7), cette formule devient

V =-^ (a» — a'» + 3(a*a — aV^) + 3iab'^ — a'b^) — Ua%

V = -^ (a» - a'« - Ua'h + 3(6» + ft'^) (a - a')),

OU en remplaçant a — a' par h et mettant h en facteur,

Exercice III. — c étant le rayon de la section qu'on obtient en meriant un plan parallèle aux deux bases d'un segment sphérique par le milieu de la hauteur h : 07i propose de démontrer la formule

V = nc^h j— •

Paftons de l'expression connue du segment sphérique, telle qu'elle est donnée par la formule (6) de l'exercice (2). Soient y, ](, y" les distances OD, OD^ 01 : on a

et en substituant dans la formule (6) les valeurs précédentes de 6* et 6'*, on obtient

Mais à cause de Tidentité (3) (1G2) on a

Maintenant, suivant que les deux bases des segments sont d'un même côté ou de part et d'autre du centre, on a

v' + y ^.ff if — y h

on a donc dans les deux cas

Remplaçant alors dans l'équation (1) y' -f- 1/'* par la valeur qu'on vient de trouver, on obtient

et en substituant c' à r* — y"^, on arrive bien à la formule demandée.

>I0 QUESÎIONS D^ALGÈBËE ÉLÉMENTAIRE.