Démontrer que, da»is tout triatïgle, on a les relations

Rn déduire les formules qui donnent -r- , -r^ et -j- , en fonction

des rayons r, r', y^ r^'', ainsi que la relation

34. Résoudre les questions analogues pour le tétraèdre. (Voyez Questions de Géométrie^ page 86).

35. Démontrer que dans l'hyperbole la projection de la normale, sur^UQ des rayons vecteurs qui passent par le piod de cette droite sur la courbe, a une longueur constante.

36. Si du sommet de l'angle droit d'un triangle rectangle, on abaissé la hauteur h sur Thypoténuse, et que Ton projette sur les deux côtés de l'angle droit adjacents les segments ainsi déterminés : en désignant par m et n ces projections, ou a les trois relations

mna = h^^ y/ m* + v ^* = V ^* > 3/i*H-m* + n*=a«.-

37. Si dans un triangle deux côtés sont égaux, les bissectrices des augles opposés sont égales.

38. Si dans un triangle les carrés de deux côtés sont entre eux comme les projections de ces côtés sur le troisième, le triangle est rectangle ou isocèle. Ce théorème suppose que les deux premiers côtés font des angles aigus avec le troisième : lorsque cette condition n'est pas remplie, quelle est la relation entre les trois côtés du triangle ?

EXEROIGES. 213

39. e, /, g étant les distances du ceotre da cercle circûnscrit aux trois côtés d'un triangle, démontrer la formule

dans laquelle Tune des droites e, /", p est positive ou négaliw, suivaat que le centre et l'un des sommets sont d'un métae côté ou de part et d'autre du côté opposé.

40. On prend sur le côté AB d'un triangle une longueur AD égale à AG, on tii-e la droite DG, démon ti-er que la longueur de celte droite qu'on appelle a?, peut se calculer par la formule

aî« =

41. Si sur le côté BG d'un triangle ABG ou construit deux Iriapgles équilatéraux BGD, BGD' et qu'on désigne par 2i' la somme a*4-^+<^*» on a

AD* +ÂD'* = 2«^ ÂD* - ÂF" = 4S V 3".

ID et A sont du même côté par rapport à BG.)

42. Démontnr que, si l'on joint aux trois sommets d'un triangle équilatéral un point quelconque de son plan, par des droites U, e, /*, m représentant par a le côté de triangle, on aura

— Ou ii'appuie sur la remarque faite (ex, 1, 183).

43. Si l'on forme trois triangles rectangles, qui aient pour hypoténuses respectives les trois côtés d'un triangle donné, et que les sommets des angles droits soient situés sur les hauteurs correspondantes: on propose de démontrer que la somme des carrés des aires des trois triangles rectangles est égile au carré de l'aire du triangle donné.

44. Démontrer que, si un quadrilatère est inscriptible et que deux des côtés soient respectivement égaux à chacun des deux autres non opposés, le carré de la diagonale, qui passe par les sommets ou aboutissent les côtés égaux deux à deux, est égal à la demi-somime des carrés des quatre côtés du qimdr-ilatère.

45. Galculer la surface d'un trapèze eu fonction de ses quatre côtés.

46. Galculer, en fonction des quatre côtés d'un trapèze, la parallèle a ses bases, qui le divise en deux trapèzes semblables.

47. Galculer les diagonales d'un trapèze connaissant les quatre côtés.

— a^b désignant les deux bases, c et d les côtés non pavallèleB, b et /"Iws diagonales, on se servira des équations démontrée» eti Géoin^ie

48. Calculer la surface d'un quadrilatère inscriptible eo foDCtion des quatre côtés.

49. Calculer le volume d'un tétraèdre, dans lequel trois arêtes sont égales eu fonction des quatre longueurs d'arêtes. On examinera les différents cas, qui se présentent suivant la disposition relative des trois arêtes égales.

' 50. Démontrer que le volume d'un tronc de cône est égal à la somme d'un cylindre et d'un cône ayant tous deux, pour hauteur, la hauteur du tronc, mais dont les bases sont des cercles qui ont des rayons respectivement égaux à la demi-soiume et à la demi-diflférence des bases du tronc.

51. Calculer, en fonction de l'arête d'un tétraèdre régulier, son volume, et les rayons des sphères circonscrite, inscrite et ex-inscrite.