Mêmes questions pour l'octaèdre

53. Ayant construit une pyramide régulière dont la base est un hexagone régulier et dont Tarôte latérale est égale au côté du triangle équilatéral inscrit dans le même cercle que l'hexagone : on demande de calculer en fonction du côté de la base, le volume et les ravons des sphères, circonscrite, inscrite et ex-inscrite.

54. Démontrer que dans un tétraèdre à arêtes orthogonales les sommes des carrés des arêtes opposés sont égales.

55. Exprimer le volume V d'un tétraèdre, à arêtes orthogouales, en fonction de trois arêtes 6, c, e aboutissant à un même sommet et d'une quatrième arête a qui forme avec les arêtes 6 et c une même face du tétraèdre. Vérifier la formule dans le cas du tétraèdn» régulier.

— On trouve

56. Étant donné un tétraèdre à arêtes orthogonales, on construit, sur ses faces comme bases, quatre tétraèdres, tels que les angles opposés aux bases soient tri-rectangles et aient leurs sommets situés sur les hauteurs correspondantes dans le tétraèdre donné : on propose de démontrer que la somme des carrés des volumes des quatre tétraèdres, que l'on a formés, est égale au carré du volume du premier tétraè^lre. Voyez Questions de Géoniéirie, pages 82 et 2.12.

57. La base d'une pyrami le régulière est un triangle équilatéral dont le côté est a et la hauteur de cette pyramide est égale à 2a : à quelle distance de la base faut-il mener un plan parallèle à cette base, pour que l'aire de la section soit égale à celle de la surface convexe du tronc de pyran^ide que l'on a déterminé