LIVRB I. — CHAPITRE III. II

55. Déterminer la direction de la bissectrice de l'angle de deux droites qu'on ne peut prolonger jusqu'à leur point dé concours.

56. Dans un triangle ABC, on mène, par le point d'intersection des bissectrices des angles B et C, une parallèle à BC; démontrer que la portion DE de cette parallèle, comprise entre AB et AC, est égale à la somme des droites DB et EC. Si la parallèle à BC passait par le point d'intersection 0' de la bissectrice de l'angle B et de celle du supplément de l'angle C, la portion D de cette parallèle, comprise entre les côtés de l'angle A ou de leurs prolongements, serait égale à la différence des droites DB et EC.

57. Dans tout triangle, une médiane quelconque est moindre que la demi-somme des deux côtés issus du même sommet et plus grande que la moitié de l'excès de cette somme sur le troisième côté. Conclure de là que la somme des trois médianes est moindre que le périmètre du triangle et plus grande que sa moitié. Démontrer, en outre, que la somme des trois médianes est plus grande que les trois quarts du périmèlre.

58. Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont deux côtés égaux chacun à chacun et une médiane égale. (Deux cas.)

Observation.— OTÔms^Temeni on distingue trois cas d'égalité de triangles et quelquefois un quatrième cas (voir nos Éléments, Note 16), et il est bon de se borner à ces trois ou quatre cas qui résultent de trois égalités entre des parties d'un triangle. Autrement on aurait un nouveau cas d'égalité de triangles toutes les fois qu'en construisant un triangle avec trois données, le problème n'admettrait qu'une solution. Ainsi on pourrait dire que deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont des bases égales, adjacentes à un angle égal et correspondant à des hauteurs égales, etc., ce qui aurait des inconvénients.

59. Un triangle est isoscèle lorsque deux de ses médianes sont égales. (Rapprocher ce théorème des questions 32 et 34.)

60. Un angle d'un triangle est droit, aigu ou obtus, selon que la médiane issue du sommet de cet angle est égale à la moitié du côté opposé, plus grande ou plus petite que cette moitié. (De là il résulte que les trois réciproques sont vraies.)

Remarque, — La question 51 consiste à démontrer directement la première de ces réciproques ; on pourrait de même se proposer de démontrer directement les deux autres.

61. Quel est le lieu des sommets des triangles qui ont une base commune BC et dans lesquels la médiane, menée du sommet B, est égale à une longueur donnée.

62. Dans un trapèze îsoscèle (c'est-à-dire dont les côtés non parallèles sont égaux), les angles opposés sont supplément taires et réciproquement.

63. Étant donnés deux points A et B, situés d'un même côté d'une droite xy^ trouver sur cette droite un point C tel que Tangle kCx soit égal à Tangle BC/; un point tel, que l'angle kCx soit double de l'angle BCj. (Pour la première partie de cette question, on joindra le point A au ppmt B' symétrique du point B par rapporta xy^ et le point d'intersection de AB' avec xy sera le point cherché. Pour la seconde partie, on remarquera que le point B', symétrique de B par rapport à xy-y doit être à égale distance de xy et de la droite AC prolongée, etc.)