CHAPITRE II

§ I, II et III. — Sections planes et plan tangent. — Pôles d'un cercle. Polyèdres inscrits et polyèdres circonscrits à la sphère.

542. Par un point pris hors d'une sphère on peut mener à celte sphère une infinité de tangentes. Toutes ces tangentes sont égales et le lieu des points de contact est une circonférence dont le plan est perpendiculaire à la droite qui joint le point donné au centre de la sphère et dont le centre est sur cette droite.

Remarque. — Cette circonférence est la ligne de contact entre la sphère et la surface conique formée par toutes ces tangentes.

543. Par une droite donnée, mener un plan tangent à une sphère donnée.

544. Les plans qui touchent deux sphères extérieurement rencontrent la ligne des centres au même point. Il en est de même des plans qui touchent deux sphères intérieurement. Ces deux points sont les centres de similitude directe et de similitude inverse des deux sphères.

545. Par un point donné, mener un plan tangent à deux sphères données.

546. La plus petite et la plusgrande droite qu'on puisse mener d'un point à la surface d'une sphère sont situées toutes deux sur la droite qui passe par ce point et par le centre de la sphère.

Remarque. — Au moyen de cette proposition on peut démontrer que deux sphères sont tangentes extérieurement, ou extérieures Tune à l'autre, ou tangentes intérieurement, ou intérieures l'une à l'autre, ou sécantes entre elles, selon que la distance des centres est égale à la somme des rayons, ou plus grande que cette somme, ou égale à la

l38 QUESTIONS PROPOSÉES.

différence des rayons, ou plus petite que cette différence, ou à la fois plus petite que la somme des rayons et plus grande que leur différence, et réciproquement.

5VJ. Décrire sur une sphère un petit cercle distant du centre de la sphère d'une longueur donnée. (On décrit sur un plan une circonférence de grand cercle, on mène un rayon OA, on prend sur OA une distance OB égale à la longueur donnée, par le point B on mène une corde CD perpendiculaire à OA, on joint le point A au point C et la distance AC est le rayon sphérique demandé.)

548. Décrire sur une sphère un petit cercle dont la surface soit égale à la moitié de la surface d'un grand cercle.

549. Quel est le lieu des centres des sections faites dans une sphère par des plans passant par une droite donnée ? Par des plans passant par un point donné ?

550. Quel est le lieu des points de l'espace tels, que la somme des carrés des distances de chacun de ces points à deux points fixes soit égale à un carré donné?

551. Quel est le lieu des points de l'espace dont les distances à deux points fixes soient entre elles dans un rapport donné?

552. Quel est le lieu des points d'une sphère, dont les distances à deux points donnés sont dans un rapport donné?

553. Les volumes V, V de deux polyèdres circonscrits à la même sphère sont entre eux comme les surfaces S, S' de ces polyèdres.

Renianjue. — Rapprocher cette question de la question 363.

g IV. — Sur les surfaces de la zone et de la sphère.

554. Trouver le rayon d'une sphère dont la surface soit équivalente à la somme ou à la différence des surfaces de deux sphères données. Qui soit équivalente au ^ de la surface d'une sphère donnée.