Construire un triangle ABC, connaissant les hauteurs

A, /l'y A", abaissées respectivement sur les côtés BC, AC et

AB. (£n désignant ces côtés inconnus par a, b, c, on doit

avoir

ah = bh' =: ch'\

et, en divisant par AA', il vient

Cela posé, on peut chercher une quatrième proportionnelle h*" aux trois droites h", A, A' et l'on voit que les côtés a, by c sont proportionnels aux trois droites h', A, A"'. Si donc on construit un triangle A'B'C, ayant ces trois droites pour côtés, de manière qu'on ait B'C' = A', A'C'=A, A'B'= A'", ce triangle sera semblable au triangle demandé, et, si du sommet A' on abaisse sur B'C la perpendiculaire A'D', qu'on prenne sur A'D', à partir du point A', une longueur A'D = A et que, par le point D, on mène une parallèle à B'C, coupant A'B' au point B et A'C au point C, le triangle A'BC sera le triangle cherché.)

Remarque, — Pour résoudre ce problème, on commence par faire une fîgure semblable à la figure cherchée et Ton construit cette dernière

figure au moyen de la première. Cette manière d'opérer est dite méthofle par les figures semblables, (Rapprocher celte remarque de celles qui suivent les questions 126 et 161.)

Observation. — Dans nos Éléments de Géométrie ^ à l'occasion d'une courte Notice sur Pythagore, nous avons cherché à faire ressortir l'extrême importance du théorème de Thaïes : Deux triangles équiangles entre eux ont leurs côtés homologues proportionnels, et Ton peut remarquer, en effet, comment ce théorème intervient constamment dans les questions qui précèdent.

Legendre, à l'exemple d'Euclide, déduit ce théorème de cette proposition : Lu ligne DE, menée parallèlement à la base d'un triangle ABC, divise les côtés AB, AC proportionnellement ; de sorte qu^on a