SA SB SC
Sa^S^ — Sc? '
les polygones ABCD, abcd seront semblables. (Si Ton prend sur les prolongements des droites SA, SB, SC, . . . , au delà du point S, les distances Sa, S6, Se, ..., de manière qu'on ait
SA SBSC
Sa S 6 Se
les polygones ABCD et abcd seront encore semblables.)
Remarque. — Selon que les sommets a,b,c,... sont situés sur les droites SA, SB, SC, ..., ou sur leurs prolongements, au delà du point S, les polygones sont semblables et semblablement placés, ou bien semblables et ini>ersement placés.
Pour abréger, M. Chasles a donné à cette similitude de forme et de position le nom ù'homothétie directe dans le premier cas et celui d'/iomothétie inverse dans le second.
Le point S est un centre U'homothétie des deux polygones ABCD, ab'cd
SA
et, en désignant par k le rapport 0— ? ^* est le rapport d'homothétie du
premier polygone au second, et, par conséquent, 7. ou X' est le rapport
d'homothéiie du second au premier.
Plus généralement : Si d'un point S on mène à différents points A, B, C, ..., disposés d'une manière quelconque, les droites SA, SB, SC, ..., et qu'on prenne sur ces droites ou sur leurs prolongements, au delà du point S, des points «, ^, c, ..., tels qu'on ait
SA SB se .
S« ~ S6 " Se '
les deux systèmes de points sont dits hnmothétiques directs ou homot/iétiques inverses f suivant que les points A et ^?, B et b^ C et c, ... sont d'un môme côté du point S ou de part et d'autre de ce point.
Selon que les points A, B, C, ... du premier système sont isolés ou qu'ils forment des lignes continues, il en sera de môme évidemment des points a^ b^ r, ....
205. La figure homothélique directe ou inverse d'une ligne droite est une seconde ligne droite parallèle à la première. (Cette question comprend, comme cas particulier, la première partie de la question 50.)
206. Les lignes homothétiques d^une circonférence sont des circonférences, (^o/r aussi la seconde partie de la question 50.)
207. Deux circonférences quelconques 0, o sont homothétiques directes et homothétiques inverses.
Remarque, — Les tangentes communes extérieures de deux cercles O/o coupent la ligne des centres en un point S, qui est le centre d'homothétie directe des deux cercles, et leurs tangentes communes intérieures coupent la ligne des centres en un point S', qui est le centre d'homothétie inverse des deux cercles.
Lorsque deux cercles se touchent extérieurement, leur point de contact est leur centre de similitude inverse y et, s'ils se touchent intérieurement , leur point de contact est leur centre de similitude directe. Les centres de similitude de deux cercles concentriques se confondent avec le centre commun à ces cercles. (Rapprocher la seconde partie de cette remarque de la question 135.)
208. Quel est le lieu des points de rencontre des médianes des triangles qui ont le point pour sommet commun et dont les deux autres sommets sont situés sur deux parallèles données X^y x'ft
209. Lieu des points de rencontre des médianes des triangles inscrits dans un segment du cercle donné (c'est-à-dire ayant pour base la corde du segment et pour sommet un point de Tare de ce segment).
210. On a un cercle et deux points A et B dans son plan; par le point A on mène une droite quelconque qui coupe la circonférence au point C, et Ton prolonge AC d'une longueur CD =: AC, puis on joint le point C au point B et le point D au point E, milieu de AB, et les droites CB, DE se coupent en M : quel est le lieu des points M?
Remarque, — Ce lieu est indépendant de la position du point A.
211. Quel est le lieu des points M tels, que la distance MB de chacun d'eux à la base BC d'un triangle isoscèle ABC soit
