LIVRE I. — CHAPITRE lïl
que le côté AC, la bissectrice AE de l'angle A divise le côté 6C en deux segments inégaux BE, EG, et celui qui est adjacent au plus grand côté est le plus grand. (Sur le côté AB prendre AG = AC et joindre GE; on aura EG = EC, et il sera facile de comparer les droites BE et EG qui sont les côtés d'un même triangle GBË, etc.)
Observation. — S'il ne s'agissait dans ce Recueil que de faire connaître une démonstration de telle ou telle proposition, il serait avantageux de réserver la question 26 pour le Livre III ; alors elle ne serait, ainsi que ses conséquences contenues dans la remarque ci-dessus, que des corollaires immédiats d'un théorème très-connu [voir nos Éléments, 249). Mais il s'agit plutôt d'exercer l'intelligence des élèves, en leur faisant voir comment des vérités peuvent s'établir de différentes manières et comment on en peut démontrer quelques-unes avec le seul secours du premier Livre, lors môme qu'on pourrait les démontrer plus facilement par la suite.
27. Dans un triangle ABC on mène la bissectrice AD de l'angle A, qui rencontre BC au point D, et il s'agit : i® de démontrer que la différence des angles ADB, ADC est la même que celle des angles C et B; 2® de trouver les angles ADB et ADC, sachant que la différence des angles C et B est égale à un angle donné ô. (Pour ce tP^ voir la quest. 16.)
28. Dans un triangle ABC, Tangle formé par la bissectrice AD de l'angle A et par la perpendiculaire A£ abaissée du sommet A sur le côté BC est égal à la demi-différence des angles C et B. Dans un triangle ABC, le côté AB est plus grand que le côté AC, sur AB on prend une longueur AD^r AC et
Ton joint DC; démontrer qu'on a aussi angle DCB—
29. Dans un triangle ABC, on mène les bissectrices des angles B et C, qui se renconli'enl au point 0; démontrer que l'angle BOC est égal à un droit, plus la moitié de l'angle A.
30. Étant donné un triangle ABC, on prolonge le côté BA au delà du sommet A d'une longueur AD égale à AC, on joint i)C et par le point A on mène AE parallèle à DC; démontrer que AE est la bissectrice de l'angle BAC,
31. Un triangle ABC est isoscèle: 1° lorsque l'une de ses médianes AD est en même temps Tune de ses hauteurs; 1^ lorsque la bissectrice AD de l'un de ses angles est perpendiculaire sur
8 QUBSTIONS PROPOSfifiS.
le côté opposé; 3<* lorsque la bissectrice AD de l'un de ses angles passe parle milieu du côté opposé. (Pour démontrer ce 3% prolonger AD d'une longueur DE = AD et joindre EB, etc.)
32. Dans un triangle isoscèle ABC, les perpendiculaires abaissées des extrémités de la base BC sur les côtés opposés sont égales, et il en est de même des médianes et des bissectrices issues des sommets B et C.
33. Si dans un triangle ABC l'angle B est droit ou obtus, les perpendiculaires abaissées des sommets B et C sur les côtés opposés sont inégales et la seconde est plus grande que la première. (De là il résulte que, si les hauteurs issues des sommets B et C sont égales, les angles B et C sont aigus.)
3&. Si dans un triangle les perpendiculaires abaissées de deux sommets sur les côtés opposés sont égales, le triangle est isoscèle.
Remarque, — On verra par la suite qu'un triangle est aussi isoscèle lorsque deux de ses médianes ou deux de ses bissectrices sont égales. [voir les quest. 59 et 149, Rem.)
35. Étant donné un triangle équilatéral ABC, on prend sur les côtés AB, BC, CA, à partir des sommets A, B, C, des distances égales A A', BB', CC; démontrer que le triangle A'B'C est aussi équilatéral.
Sur les quadrilatères et les polygones.
36. Deux quadrilatères convexes sont égaux lorsqu'ils ont un angle égal et leurs quatre côtés égaux chacun à chacun et disposés de la même manière.
37. L'angle formé par les bissectrices de deux angles consécutifs d'un quadrilatère convexe est égal à la demi-somme des deux autres angles du quadrilatère, et l'angle formé par les bissectrices de deux angles opposés est égal à la demi-différence des deux autres angles.
38. Quel est le lieu des points situés à une dislance donnée d'une droite donnée? (Cette question est analogue à la quest. 6.)
