Inscrire un carré dans un triangle donné ABC

Fîg. 12.

(^g-. 12). Soient DEFG le carré cherché, x son côté, AH la hauteur du triangle qui coupe GF au point K.

Dans les triangles semblables ABC, AGE, les bases BC = a, GF=^ sont proportionnelles aux hauteurs AH —A, AK = A — ^, et

l'on a

a A .. , ah

HE c

d'où x=^

ainsi le côté x du carré est une quatrième proportionnelle aux trois droites a -h h, a, h.

Pour construire x, prolongeons HC d'une longueur CM = BH, portons à 1» suite de HM la droite MN = AH, joignons NA, et par le point M menons une parallèle à NA, qui rencontre AH

au point K; alors HK sera le côté du carré cherché, car on a

HN ou a -f- A HA ou h

— ■■■■ I. ■ ■■ ^ ■ ■■ " ■ I— ^^—11 I Ml ■ «

HM ou a UK ou x

Remarque. — Cette question n*est autre que la question 198, qu'il s'agissait de résoudre géométriquement, en remarquant que la droite BF est un lieu géométrique qu'on est censé connaître d'après la question 197.

33b. Inscrire dans un carré donné un second carré dont le côté est donné. Dans quel cas ce second carré sera-t-il le plus petit possible?

335. Inscrire dans un triangle donné ABC un rectangle DEFG équivalent à un carré donné m'. Dans quel cas ce rectangle est-il un maximum?

Remarque. — Les Éléments d* Algèbre contiennent ordinairement un assez grand nombre de questions relatives à des figures géométriques et où il s'agit de maxima et de minima,

336. Diviser une droite donnée a en deux parties telles, que la somme ou la différence des carrés construits sur ces parties soit équivalente à un carré donné /n^