PROPOSITION III

THÉORÈME

«Si «ne droite est partagée d'une manière quelconque en deux parties, le rectangle compris sous .la droite entière et l'un des segments est égal au rectangle compris sous les segments et au carré formé sur le segment primitivement pris.

Soit la droite a = b -+- c; ce théorème revient à démontrer l'égalité ab = bc -4- 6\

Que la droite AB soit partagée en un point quelconque C : je dis que le rectangle compris sous les droites AB, BC est égal au rectangle compris sous les droites AC, CB et au carré de la droite BC.

Sur la droite BC construisez le carré CDEB, prolongez en F la droite ED, et par le point A conduisez la droite AF parallèle à l'une ou à l'autre des droites CD, BE.

Le rectangle AE est certainement égal aux rectangles AD, CE; mais le rectangle AE est compris sous les droites AB, BC, car il est compris sous les droites AB, BE : donc la droite BE est égale à la droite BC; le rectangle AD est compris sous les droites AC, CB, puisque la droite DC est égale à la droite CB, et enfin le carré DB est construit sur la droite BC; donc le rectangle compris sous les droites AB, BC est égal au rectangle compris sous les droites AC, CB et au carré de la droite BC.

Donc, si une droite est partagée d'une manière quelconque en deux parties, le rectangle compris sous la droite totale et sous un des segments est égal au rectangle compris sous les segments et au carré construit sur le segment premièrement pris. c. Q. F. D.

Remarque. — On voit avec quel soin Euclide distingue renoncé général d'une proposition, l'énoncé particulier, la démonstration, la conclusion particulière et la conclusion générale.