DIFFERENTES QUESTIONS SUR CE LIVRE Y

428. Etant donnés deux points A et B situés d'un même côté d'un plan P, trouver sur ce plan un point tel que la somme de ses distances aux points A et B soit un minimum.

429. Étant donnés deux points A et B situés de part et d'autre d'un plan P, trouver sur ce plan un point tel que la différence de ses distances aux points A et B soit un maximum»

430. Étantdonnésunedroitea:/(/g'. 17) et deux points A,B, non situés dans un même plan Fig. 17.

avec la droite, trouver sur xy un point tel, que la somme de ses distances aux points A et B soit un minimum. (Par le point B menons un plan perpendiculaire à xyy qui coupe cette droite au point C, et du point C comme centre, avec le rayon GB, décrivons dans ce plan une circonférence, puis, par le poini, A et la droite xyy faisons

Fig. 18.

passer un plan qui coupe le plan perpendiculaire à xy^ suîvani le diamètre DCE, et, en supposant A et D situés de part et d'autre de xy^ menons la droite AD, qui coupe xy au point F : alors le point F sera le point cherché. Car la partie FD de la droite AFD est égale à FB, puisque xy est Taxe de la circonférence CB; donc AF-hFB est un minimum.)

431. Étant donnés une droite xyei deux points A, B, non situés dans un même plan avec la droite, trouver sur xy un point tel, que la différence de ses distances aux points A et B soit un maximum, (Marche analogue à celle qu'on a suivie pour la question précédente.)

432. Étant données deux droites AB, CD [fig, 18), rectangulaires et non situées dans le même plan, quel est le lieu géométrique du milieu M d'une droite EF, de longueur constante, dont les extrémités sont assujetties à rester sur les droites AB et CD?

(Soient GH la plus courte distance des droites AB, CD, et K le milieu de GH, puis menons du point K deux droites Kx, Kj, respectivement parallèles à AB et à CD, enfin menons EE' perpendiculaire à Kx et FF' perpendiculaire à Kj, joignons le point E' au point F', et le point K au point M, qui est situé sur E' F'. Cela posé, on fera voir que le point M est le milieu de E'F', et que E'F', hypoténuse du triangle rectangle KE'F', a une longueur constante; donc le lieu cherché est une circonférence qui a pour centre le point K et pour rayon la droite KM.)

433. Soient SABC un angle trièdre et ASa, BS6, CSc les angles que les arêtes SA, SB,SC font avec les faces opposées; démontrer que la somme de ces angles est moindre que la somme des trois faces ASB, BSC, CSA, et plus petite que la moitié de cette somme. (D'abord on a

AS a < ASB, BS 6 < BSC, CS c < CSA et par suite

ASa -+- BS6 4- CSc < ASB 4- BSC -h CSA.