C. — Questions, o

Il4 QUESTIONS PROPOSÉES.-

454. Si la hauteur SO d'un tétraèdre SABC rencontre la face ABC au point d'intersection des trois hauteurs de cette face, les arêtes opposées |du tétraèdre sont perpendiculaires entre elles deux à deux.

455. Lorsque dans un tétraèdre lés arêtes opposées sont perpendiculaires entre elles deux à deux, les quatre hauteurs du tétraèdre se coupent en un même point. Si un tétraèdre SABC a un angle trièdre trirectangle S, ses arêtes opposées sont perpendiculaires deux à deux, et le point d'intersection des quatre hauteurs est le point S.

456. Les plans, perpendiculaires sur les milieux des arêtes d'un tétraèdre, se coupent en un même point.

457. Par un point quelconque, pris à l'intérieur de la base d'une pyramide régulière, on élève une perpendiculaire sur cette base; cette perpendiculaire rencontre toutes les faces de la pyramide prolongées au besoin. Démontrer que la somme des distances des points de rencontre au plan de la base est une quantité constante.

458. La base d'une pyramide régulière est un triangle équilatéral dont le côté est a; la hauteur de la pyramide est égale à 2a; à quelle distance de la base ABC faut-il mener un plan DEF parallèle à cette base pour que la surface du triangle DEF soit égale à la surface latérale du tronc ABCDEF?

459. Évaluer la surface de la section faite dans un tronc de pyramide triangulaire par un plan mené parallèlement aux bases et à égale distance de ces bases.

460. Par la droite DE, qui joint les milieux de deux arêtes opposées SA, BC d'un tétraèdre SABC, on mène un plan quelconque qui coupe SB au point F et ACau point G; démontrer que la droite FG est divisée par la droite DE en deux parties égales. (Si, par la;droite DE on mène le plan également distant des arêtes SB, AC, les perpendiculaires abaissées des points F et G Sur ce plan seront égales, et il en sera de même des perpendiculaires FF', GG', abaissées des points F et G sur DE, etc.)

LIVRB VI. — CHAPITRE I. Il5

461. Couper un tétraèdre SABC par un plan P parallèle aux deux arêtes opposées SB^ AC> de manière que la section DEFG soit un maximum, (Toute section faite par un plan parallèle aux arêtes SB, AC est un parallélogramme > tel que DEFG, dont l'angle DEF est égal à celui des arêtes SB, AC; donc la section sera un maximum en même temps que le produit DE.DF, etc.)