Couper un cube ABCDEFGH (Jig. 19) par un plan, de

manière que la section soit un hexagone régulier. (Faisant abstraction des six arêtes du cube partant des sommets D et F, par exemple, il reste les six arêtes AB, BC, CG, GH, HE, EA , et si l'on joint les points milieux consécutifs M, N, P, Q, R, S de ces arêtes, on aura l'hexagone cherché.

1° Cet hexagone a ses côtés dans un même plan; car les côtés MN, PQ prolongés se rencontrent en un même point K de l'arête DC.

a° On voit facilement que les côtés de l'hexagone sont égaux.

Z"* Les angles sont aussi égaux; car l'angle MNP, par

LrVRB VI. — CHAPITRE I. II 3

exemple, vaut ^ de droit, comme étant le supplément de

l'angle PNK, qui vaut -r de droit, à cause du triangle NPK qui est équilatéral, vu qu'on a PK r= PQ = PN — NK.

Autre manière de démontrer que la section est un hexagone régulier :

i"" Les six sommets de la section étant également distants des sommets D et F, cette section est plane et son plan est perpendiculaire sur le milieu de la diagonale DF.

2° Les côtés MN, NP, PQ, ... sont égaux.

3° Les six triangles OMN, ONP, ... sont équilatéraux.

Donc la section est un hexagone régulier qui a pour centre le point 0.)

2 II. — Sur la pyramide et pluB particulièrement sur le tétraèdre.

450. Deux tétraèdres sont égaux : i® lorsqu'ils ont une face égale adjacente à trois angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés; 2'' lorsqu'ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune et semblablement disposées; 3^ lorsqu'ils ont un angle trièdre égal, compris entre trois arêtes égales chacune à chacune et semblablement disposées; 4** lorsqu'ils ont leurs six arêtes égales chacune à chacune, et semblablement disposées.

451. Par un point D, pris sur l'une des arêtes SA d'un tétraèdre SABC, on mène un plan parallèle aux deux arêtes opposées SB, AC; démontrer que la section faite par ce plan est un parallélogramme. Si le point D est le milieu de SA, la section sera également distante des arêtes SB, AC.

452. Dans un tétraèdre, les trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées se coupent mutuellement en parties égales.

453. Si, dans un tétraèdre SABC, les arêtes opposées SA, BC sont perpendiculaires entre elles, les hauteurs du tétraèdre issues des sommets S et A se coupent, et réciproquement.