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bases celles du polyèdre, et pour hauteur -1 et la somme de ces deux pyramides a pour mesure
^(B-hB'l.
Maintenant, si du point G on abaisse GH perpendiculaire à la face ABCD, et qu'on mène la droite HK perpendiculaire à EF, cette droite sera aussi perpendiculaire à GK, et elle rencontrera AB en un point M, et CD en un point N, et la pyramide GABCD aura pour mesure
\ GH.EF.2NK-,
mais le plan NKG est perpendiculaire à EF, et par suite au plan EFG; donc la droite NP perpendiculaire à KG est égale
à -> et d'ailleurs les produits GH.NK et GK.NP sont égaux,
comme étant chacun le double de la mesure du triangle NKG ; donc la mesure ci-dessus devient
ou
^GK.EF./i
'^ X 4GEF
Ainsi la somme des pyramides, qui ont pour sommet commun le point G et pour bases les faces latérales du polyèdre.
a pour mesure le produit ^ multiplié par 4 fois la somme des
triangles qui composent la section.
Donc on a bien la formule
V=|(Bm-B' + 4B").]
Remarque. — Si des faces latérales sont des triangles, on peut les regarder comme des trapèzes dont Tune des bases est nulle, et la formule ne change pas.
490. Étant donné un polyèdre ayant deux bases rectangulaires et parallèles ABCD, EFGH, et pour faces latérales des trapèzes, on demande :
i<» D'évaluer le volume V de ce polyèdre, connaissant les dimensions des deux bases et la distance de ces bases;
2» D'indiquer la cendition qui doit être remplie pour que le polyèdre soit un tronc de pyramide.
[Pour trouver le volume V, on pourrait mener par les arêtes DC, EF un plan qui décomposerait le polyèdre en deux troncs de prismes triangulaires, dont on connaîtrait les sections droites et les arêtes latérales, mais il est plus simple de se fonder sur la question précédente. Des deux manières on trouve la formule
en désignant par li la distance des deux bases, par a, b les dimensions du rectangle ABCD, et par a\ b' celles du rectangle EFGH.
En second lieu, il est facile de voir que le polyèdre est un tronc de pyramide, lorsque les deux rectangles sont semblables.]
Remarque. — La formule précédente sert à mesurer les volumes des amas de pierre et des fossés ou cuvettes établis le long des routes ; car ces volumes ont la forme de prismes quadrangulaires tronqués dont deux faces latérales opposées sont rectangulaires et parallèles et dont les autres faces opposées sont des trapèzes isoscèles.
Si les deux trapèzes isoscèles égaux qui servent de bases à Tun de ces troncs de prismes quadrangulaires deviennent des triangles isoscèles égaux , le tronc de prisme quadrangulaire devient un tronc de prisme
