Étant donnée une circonférence de rayon R [fig. i

et un point A extérieur^ on décrit, du

f ' Fig. a.

point O comme centre, avec le rayon 2R,

une seconde circonférence, puis une

troisième circonférence ayant pour centre

le point A et pour rayon AO. Cette der- /

nière circonférence coupe la précédente \

aux points B, C, et l'on mène les droites

OB, OC, qui rencontrent la première cir- ^ ^^

conférence aux points D et E : démon- ^ '

trer que AD et AE sont tangentes à la circonférence donnée.

Remarque, — Ce théorème donne un moyen de mener une tangente à une circonférence par un point extérieur; mais alors, au lieu de décrire entièrement les circonférences ayant pour rayons 2R et AO, on se borne à en déterminer des arcs qui se coupent aux points B et C.

86. Étant donnés une circonférence et un point A extérieur, on joint le point au point A par une droite qui coupe la circonférence au point B, et de ce point on élève sur OA une perpendiculaire qui rencontre aux points C et D l'arc décrit du point comme centre, avec OA pour rayon; on mène les droites OC, OD, qui coupent la circonférence aux points E et F : démontrer que les droites AE et AF sont tangentes à la circonférence donnée. (De là encore un moyen de mener une tangente à une circonférence par un point extérieur.)

87. Soit une circonférence qui touche les côtés d'un angle A aux points B, C et, par un point quelconque D de Varc BDC, tournant sa convexité vers le sommet de l'angle, menons une tangente terminée aux côtés AB, BC, en E et en F; il s'agit de démontrer: 1° que le périmètre du triangle AEF est constant; 2° que la droite EF est vue du centre sous un angle constant. (Examiner ce que devientle théorème lorsque la tangente est menée par un point G de l'arc concave BGC.)

88. Étant donnés une circonférence et un point, mener par ce point une sécante telle, que sa partie comprise dans la circonférence ait une longueur donnée telle, que la somme

l8 QUESTIONS PROPOSÉES.

OU la différence des parties de la sécante comprises entre le point et la circonférence soit égale à une droite donnée. [Mêmes .questions, en remplaçant la circonférence par deux parallèles.)

89. Décrire une circonférence passant par un point donné A et tangente à une droite xy en un point donné B. (l^ême question, en remplaçant la droite par une circonférence. Cas où la droite AB est tangente à cette circonférence.)

90. Décrire avec un rayon donné une circonférence tangente à deux droites données. Tangente à une droite et à un cercle donné.

91. Mener à une circonférence une tangente qui fasse un angle donné avec une droite donnée.

92. Des sommets d'un triangle, comme centres, décrire trois circonférences qui se touchent deux à deux.

93. Le diamètre du cercle inscrit dans un triangle rectangle «st égal à Texcès de la somme des deux côtés de Tangle droit sur Thypoténuse.