CHAPITRE V

§ I. — Sur la construction de triangles, de quadrilatères, de polygones.

94. Démontrer que les conditions a^Cb-h c et a^b — c, nécessaires et suffisantes pour que les trois droites «, é, c puissent être les côtés d*un triangle, reviennent à celles-ci : a<Cb-hc, é<<a-4-c, c<Ca-i-b, et réciproquement. (La condition a^b — c suppose implicitement que le côté 6 est plus grand que c ou au moins égal à c, etc.)

95. Construire un triangle dont les angles sont donnés, et connaissant en outre la somme ou la différence de deux côtés, ou le périmètre, ou une hauteur, ou une bissectrice, ou une médiane, ou le rayon du cercle inscrit.

96. Construire un triangle dont on donne la base et Tun des angles à la base, et connaissant en outre la somme ou la différence des deux autres côtés, ou la hauteur ou la médiane correspondant à la base, ou la longueur de la bissectrice de Tangle donné, ou le rayon du cercle inscrit.

97. Construire un triangle, connaissant la base, la hauteur et la médiane qui correspondent à cette base, ou un côté et deux hauteurs, ou deux côtés et une médiane, ou un côté et deux médianes, ou les trois médianes.

98. Construire un triangle, connaissant un angle et deux hauteurs, ou un angle, une hauteur et le périmètre, ou un sommet et les pieds des perpendiculaires abaissées des deux autres sommets sur les côtés opposés.

99. Construire un triangle, connaissant les milieux de ses trois côtés.

100. Construire un triangle rectangle, connaissant l'hypoténuse de grandeur et de position et un côté de Tangle droit.

101. Construire un parallélogramme, connaissant ses diagonales et l'angle qu'elles font entre elles.

102. Construire un trapèze, connaissant les quatre côtés, ou les diagonales et les côtés parallèles.

103. Construire un quadrilatère, connaissant les quatre côtés et l'une des droites qui joignent les milieux des côtés opposés.

104. Construire un pentagone, connaissant les milieux de ses côtés.

105. D'un point comme centre, décrire une circonférence qui intercepte sur une droite donnée une corde de longueur donnée.

106. D'un point comme centre, décrire une circonférence qui fasse avec une droite donnée un angle donné.

107. D'un point comme centre, décrire une circonférence qui coupe une circonférence donnée, de manière que la corde commune ait une longueur donnée. Question analogue, en remplaçant la circonférence par deux droites parallèles. (Elle se ramène immédiatement à la question 77.)

J II. — Sur la division d'une droite en parties égales. — Division d'un angle droit en trois parties égales.

108. Diviser une droite AB en trois parties égales. (On trace une droite indéfinie Kx sur laquelle on porte une longueur quelconque de A en C et de C en D; on joint DB et Ton prolonge cette droite d'une longueur BE = DB; on mène la droite EC qui coupe AB au point F, et FB est le tiers de AB; car AB et EC sont des médianes du triangle ADE.)

Remarque. — Cette conslruction n*est qu*un cas particulier de celle qui est indiquée dans nos Éléments (454, Rem, III),

109. Si l'on divise la corde AB d'un arc de cercle en un nombre quelconque de parties égales, les rayons qui passent par les points de division ne partagent pas l'arc AB sous-tendu par la corde ou l'angle au centre AOB en parties égales.