Si dans un triangle ABC {Jlg. 3) le côté AB est plus

j,.. 3 grand que le côté AC, la bissectrice BD

de l'angle B sera plus grande que la bissectrice CE de l'angle C. Par le point C menons dans l'angle ECA la droite CF, faisant avec CE un angle ECF égal à l'angle ABD et rencontrant la bissectrice BD au point F; le quadrilatère EFCB sera inscriptible.

Décrivons l'arc BEFC. Alors l'arc BE est plus grand que l'arc FC, et, par conséquent, l'arc BEF est aussi plus grand que Tare EFC; d'ailleurs l'arc BEF, qui est intercepté par

C B l'angle BCF, égal à — | — ^ est moindre qu'une demi-pircon-

férence, et il en est de même a fortiori de l'arc EFC; donc la corde BF est plus grande que la corde CE; donc on a BD>CE. (Rapprocher ce théorème des questions 32 et 34.)

Remarque. — Si les bissectrices de deux angles d^un triangle sont égales, les côtés opposés à ces angles sont égaux ^ et, par conséquent^ le triangle est isoscèle,

150. Sur deux côtés d'un triangle, comme diamètres, on décrit deux demi-circonférences; démontrer que ces demicirconférences se coupent sur le troisième côté. Trois cir-

LIVRB II. — CBAPITRB I.

conférences, qui passent chacune par Tun des sommets d'un triangle et qui se coupent deux à deux sur les côtés du triangle, se rencontrent en un même point.

151. Sur les côtés d'un triangle quelconque ABC on construit extérieurement des triangles équllatéraux ABD, BCE, CAF et Ton mène les droites DC, EA, FB; démontrer que ces droites sont égales, qu'elles se coupent en un même point et que de ce point les trois côtés du triangle sont vus sous le même angle.