Dans tout triangle ABC [fig. 4) les milieux des côtés

Fig. 4.

les pieds des hauteurs et les milieux des droites qui joignent les sommets au point dMntersection des hauteurs sont situés sur une même circonférence. (Soient D, E, F les milieux des côtés BC, AC, AB, et menons la hauteur AG; je dis d'abord que la circonférence, passant par les points D, E, F, passera aussi par le pied G de la hauteur AG; car, dans le trapèze DGEF, les côtés FD et EG sont chacun la moitié de AC; donc ce trapèze est isoscèle, et, par suite, il est înscriptible (question 62).

Maintenant menons la hauteur CH, qui coupe AG au point K ; soit M le milieu de AK, et joignons ME et ED. La droite ME sera parallèle à KC ou à HC et la droite ED sera parallèle à AB; donc l'angle MED est droit, et, comme l'angle MGD est aussi droit, le quadrilatère MEGD est inscriptible; donc la circonférence, qui passe par les points D, G, E, passe aussi par le point M. Ainsi le théorème est démontré.

Remarque. — La droite MD est un diamètre de la circonférence DGEMF et le milieu &> de MD en est le centre.

Le cercle w est dit le cercle des neuf points.

153. Par un point donné, mener une droite qui coupe une circonférence donnée sous un angle donné. D'un point donné, comme centre, décrire une circonférence qui coupe une circonférence donnée, sous un angle donné.