Le parallélogramme, qui a pour sommets les milieux

QUISTI0H8 PMOPOStES.

des côtés d'un quadrilatère, est équivalent à la moitié de ce quadrilatère. (Rapprocher ce théorème de la question 49.)

174. Deux quadrilatères sont équivalents lorsque leurs diagonales sont égales et qu'elles font entre elles des angles égaux.

175. On a un quadrilatère ABCD; par le point £, milieu de la diagonale DB, on mène une parallèle à la diagonale AC, qui rencontre AD au point F et DG au point 6, puis on joint le sommet A au point G : démontrer que la droite AG divise le quadrilatère en deux parties équivalentes DAG et ABCG. (Menons par le sommet B une parallèle à AC, qui rencontre DC prolongé au point H; alors on voit que le point G est le milieu de DH. D'ailleurs, si Ton joint le sommet A au point H, le quadrilatère ABCG est équivalent au triangle AGH et, par suite, au triangle AGD; donc, etc.)

Remarque. — Si la droite, menée par le point E milieu de DB, renconlrait AB en F et BG en G, on mènerait par le sommet D une parallèle à ÂC qui rencontrerait BC prolongé au point H, etc.

176. Étant donné un quadrilatère ABCD [Jig. 6), par le milieu £ de la diagonale AC on mène une parallèle à la diagonale BD, et de même, par le point F, milieu de la diagonale BD, on mène une parallèle à AC, qui rencontre la première parallèle au point 0, puis on joint ce point aux milieux G, H, K, L des côtés AB, BC, CD, DA :

démontrer que ces quatre droites de jonction divisent le quadrilatère en quatre parties équivalentes. (Caries triangles OEG, OEL sont équivalents, et si on les retranche successivement du pentagone OELAG, il s'ensuit que les quadrilatères EGAL, OGAL sont équivalents. Or lé quadrilatère EGAL se compose de deux triangles EAG, EAL, qui sont respectivement les quarts des triangles ABC, ADC, en vertu de la question 48, etc.).

177. Des trois sommets d'un triangle ABC on mène aux côtés opposés les droites AD, BE, CF, qui se coupent en un

Fig. 6.