Construire un triangle ABC, connaissant les hauteurs

A, A', If y abaissées respectivement sur les côiés BC, AC et

AB. (En désignant ces côtés inconnus par a, b, c, on doit

avoir

aAz=*A'=cA",

et, en divisant par AA', il vient

Cela posé, on peut chercher une quatrième proportionnelle A'^ aux trois droites A", A, h' et l'on voit que les côtés a, by c sont proportionnels aux trois droites A', A, A'". Si donc on construit un triangle A'B'C, ayant ces trois droites pour côtés, de manière qu'on ait B'C'=A', A'C'm A, A'B'= A'% ce triangle sera semblable au triangle demandé, et, si du sommet A' on abaisse sur B'C la perpendiculaire A'D', qu'on prenne sur A'D', à partir du point A', une longueur A'D = A et que, par le point D, on mène une parallèle à B'C, coupant A'B' au point B et A'C au point C, le triangle A'BC sera le triangle cherché.)

Remarque. — Pour résoudre ce problème, on commence par faire une figure semblable à la figure cherchée et l'on construit cette dernière

figure au moyen de la première. Cette manière d'opérer est dite méthode pcLT les figures semblables, (Rapprocher cette remarque de celles qui suivent les questions d 26 et 161.)

Observation, — Dans nos Éléments de Géométrie, à Toccasion d'une courte Notice sur Pythagore, nous avons cherché à faire ressortir Textrème importance du théorème de Thaïes : Deux triangles équiangles entre eux ont leurs côtés /lomologues proportionnels, et l'on peut remarquer, en effet, comment ce théorème intervient constamment dans les questions qui précèdent.

Legendre, à l'exemple d'Euclide, déduit ce théorème de cette proposition : La ligne DE, menée parallèlement à la base d'un triangle ABC, diifise les côtés AB, AG proportionnellement; de sorte qu'on a