AB.AE^AC.AD

248. Démontrer directement, c'est-à-dire sans se fonder sur le théorème de Pythagore, que le carré fait sur le côté d'un triangle, opposé à un angle aigu, est équivalent à la somme des carrés faits sur les deux autres côtés, moins deux fois le rectangle construit sur l'un des côtés qui comprennent l'angle aigu et la projection de l'autre côté de cet angle sur le premier.

Remarque. — Désormais nous représenterons souvent par a, b, c les côtés d'un triangle ÂBC, opposés aux angles A, B, C.

D'après celte convention, si dans le triangle ABC l'angle A est aigu et qu'on désigne par/? la projection de AC sur AB, on déduira du théorème précédent la relation

(i) a^= b^-h c^— ic xp.

Observation, — Cette relation a lieu tant que l'angle A est aigu.

Maintenant, supposons que la position du côté AB reste fixe, que le côté AC tourne autour du point A de manière que l'angle BAC augmente et que l'angle BAC devienne égal à un angle droit, la projection p sera nulle et la relation (i) se réduira à celle-ci :

d'où l'on conclut le théorème de Pythagore.

En second lieu, supposons que l'angle BAC devienne oblus; alors, en conservant les notations ci-dessus, on démontrerait qu'on a

(2) a^= b^-hc^-h 2c X p.

Mais, si l'on convient de regarder la projection p comme positive, lorsqu'elle est située sur le côté AB et de la regarder comme négative lorsqu'elle est située sur le prolongement de AB, au delà du point A, la relation (2) pourra s'écrire de cette manière :

a^ = b^-h c^-^ ^c x{ — p) ou a^ = b^ -h c' — 2,c X p.

6o QUESTIONS PROPOSÉES.

Ainsi la relation (i) a lieu lorsque Tangle A est aigu, droit ou obtus, et Ton peut dire que dans toiti triangle le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres, moins deux fois le produit de l'un de ces derniers côtés et de la projection du second côté sur le premier.

En général, si une relation a été établie au moyen d'une certaine figure, en y regardant toutes les droites comme positives, et qu'on fasse varier la figure d'une manière continue, la relation existera toujours; seulement, si des droites, prises à partir d'un point fixe ou d'une droite fixe dans une direction déterminée, prennent une direction opposée après avoir passé par la valeur zéro, il faudra regarder ces droites comme étant négatives. C'est en cela que consiste la loi des signes de Carnot,

Cette loi, à la vérité, n'est pas démontrée a priori; mais elle résulte de nombreuses applications, de puissantes inductions.

Par exemple , considérons la question 65, relative à un triangle isocèle ABC et qui se compose de deux parties.

D'après la première partie, la somme des distances DE, DF d'un point quelconque D de la base aux deux autres côtés AB, AC est égale à la hauteur h issue du point B, et l'on a

(3) DEh-DF = ^.

D'après la seconde partie, le point D est situé sur le prolongement de- BC, au delà du point C, par exemple, et l'on a

(4) DE-DF = /i.

Or, après avoir démontré la relation ( 3), si Ton suppose que le point I> se meuve sur BC, dans la direction BCa:, on voit que la perpendiculaire DF, restant parallèle à elle-même, devient nulle lorsque le point D» se confond avec le sommet C et qu'elle change de position par rapport au côté AC, lorsque le point D se trouve sur le prolongement Cr; alors,, d'après la loi des signes, la perpendiculaire DF doit être regardée comme négative, si l'on veut que la relation (3) convienne à la fois aux deux parties de la question. Et, en effet, si dans la relation (3) on remplace DF par — DF, on retrouve la relation ( 4 ).