SD SE SG SA
et, par suite.
St/ ~"Se Sg- SA '
SDC SEF SGH SAB
Srf ~ Se "" Sg- "~ SA
et
DCFE EFHG GHBA
de eg gk '
mais les trapèzes* DCEF, EFHG, GHBA sont équivalents; donc les droites de, eg, gk doivent être égales.
Ainsi, pour résoudre la question, on projettera SD' sur AB en Srf, on divisera dk en trois parties égales ; aux points e et g", on élèvera les perpendiculaires eE', g^G', et Ton rabattra sur SA les cordes SE', SG' sur SA en SE et SG, et les points E et G seront les points par lesquels il faut mener les parallèles EF, GH.)
Remarque. — Le triangle SBC peut être regardé comme un trapèze dont Tune des bases est BG et dont l'autre est nulle ; par conséquent, cette question comprend les deux précédentes.
314. Par un point D pris sur un côté AB du triangle ABC, mener une droite DE qui divise ce triangle en deux par-
LITBE III. — CHAPITRE lïl. 8l
lies 'équivalentes. (Pour fixer les idées , supposons qu'on ait AD > DB ; alors le triangle ADC est plus grand que le triangle DBC, et la droite DE rencontrera le côté AC en E et Ton aura
ADE DECB ABC
Mais les triangles ADE, ABC, ayant un angle égal, sont proportionnels aux produits des côtés qui comprennent cet angle; donc
AD.AE AB.AC at\at. i-n kr>
— ou aAD.AE =: AB.AC;
d'où Ton voit que la droite inconnue AE est une quatrième proportionnelle aux droites 2 AD, AB, AC.
On prolongera donc AD d'une longueur DF = AD, on joindra FC et l'on mènera BE parallèle à FC, et la droite AEsera la droite cherchée. )
Remarque, — Lorsque l'Algèbre conduit ainsi à une construction , il faut, autant que possible, adapter cette construction à la figure donnée.
Cette question a déjà été proposée pour être résolue géométriquement (voir quest. 180), et, dans les deux cas, la construction reste la môme.
315. Élever sur un côté BC du triangle ABC une perpendiculaire EF qui divise ce triangle en deux parties équivalentes. (Soit AD la hauteur du triangle et supposons BD >DC; la droite EF rencontrera le côté AB en F, etc.).
On trouvera que la droite inconnue BE doit être une moyenne proportionnelle entre BD et 7BC.
Remarque, — Plus généralement, on peut se proposer de diviser le triangle ABC en deux parties équivalentes par une parallèle à une droite donnée.
316. Par un sommet A du quadrilatère ABCD, mener une droite AE qui divise ce quadrilatère en deux parties équivalentes. (Supposons que le triangle ABC soit plus grand que le triangle ACD; alors la droite AE doit rencontrer le côté
