LIVRE III. — CHAPITRE III

i II. — Construction d'un rectangle équivalent à un carré donné et dont la somme ou la différence des dimensions est égale à une droite donnée. -* Division d'une droite en moyenne et extrême raison.

Les trois problèmes que comprend ce paragraphe sont ordinairement résolus synthétiquement dans tous les Éléments de Géométrie ; nous allons les résoudre au moyen de TAlgèbre, en modifiant les énoncés des deux premiers.

320. Trouver deux droites or et/ dont la somme est a et dont le produit est égal à m». (En résolvant le système d'équations

xjr=: m\ on trouve

A la première valeur de x correspond la première valeur de j, et à la seconde valeur de x la seconde valeur dey; d'où il résulte que le problème n'admet qu'une solution.)

Remarque /. — Pour construire la première valeur de x, on prend d*abord la moitié ÂO de la droite donnée AB = a et l'on ajoute à la suite le côté OE de l'angle droit d'un triangle rectangle OED, qui a

pour hypoténuse OD = - et m pour l'autre côté de l'angle droit. On re-

trouve ainsi la construction synthétique connue.

Remarque II. — D'après cette construction, on voit que ia moyenne arithmétique de deux droites inégales AE et EB est plus grande que leur moyenne géométrique.

Remarque III, — Pour que les valeurs de j: et de j conviennent à la question, il faut qu'elles soient réelles et que Ton ait

ni^ < -r- ou au plus égal à — • 4 4

Ainsi, le maximum du produit de deux droites, dont la somme est constante, est le carré de la moitié de cette somme ^ ou, en d'autres

termes, si une droite a est divisée en deux parties y le produit maximum

de ces parties est —? c^ est -à-dire le carré de la moitié de cette droite.

De plus, les valeurs de ar et de jr doivent être positives ; or elles le sont évidemment.

Remarque IF, — La résolution de cette question 320 donne le moyen de construire immédiatement les racines de l'équation homogène du second degré

ax — x^—q^ ou x[a — x)=q'^.

Elle donne aussi le moyen d'obtenir les racines de Téquation

x^ -If ax -^ q^ = o \

car les racines de cette équation ne sont autres que celles de Téquation précédente, changées de signes.

Remarque V, — Au lieu de considérer deux inconnues, on aurait pu n'en considérer qu'une. En désignant par x l'une des parties de a, l'autre serait a — x^ et l'on aurait à résoudre l'équation

x{a — a:) = /72% ce qui donne encore

et, par suite,

a là^