NOMBRE DES COUPS DE NAVETTE

Il est facile, d'après cela, de déterminer le nombre des coups dans la marche complète du baguenaudier de 7 anneaux. Lorsque tous les anneaux sont montés, on a pour la notation

ou, dans le système décimal,

i8o Septième récréation.

Donc, il faut opérer 85 déplacements pour monter ou pour démonter le baguenaudier de sept anneaux, dans la marche ordinaire. De même, pour le baguenaudier de dix anneaux, il faut 682 coups de navette, puisque l'on a

En général, si l'on désigne par Pn le nombre des déplacements nécessaires pour monter ou pour démonter le baguenaudier de n anneaux, on a, pour n pair égal à 2k,

et pour n impair égal k 2k -\- i ,

On peut réunir ces deux formules en une seule, en disant que Pn est toujours égal au plus grand nombre entier contenu dans le tiers de 2"^-^^

Nous donnons, dans le tableau qui termine cette récréation, la fissuration des seize premiers coups ascendants du baguenaudier de 5, 6 ou 7 anneaux; la colonne n indique la succession des coups dans la marche ordinaire, le tableau contient aussi la figuration des quinze derniers coups du baguenaudier de 7 anneaux ; on observera, en effet, que, bien que le baguenaudier soit monte par 85 changements, on peut encore compliquerTétat de situation des anneaux jusqu'au 127*^ coup, pour se préparer à monter le huitième anneau comme s'il existait. C'est à cette différence entre le baguenaudier monté et le baguenaudier plus compliqué, que Ton doit attribuer la divergence des calculs des trois auteurs qui ont écrit sur cet instrument. En général, pour arriver à l'état le

Le jeu du bagueuaudier.

plus compliqué du baguenaudier de n anneaux dans la marche ordinaire, il faut un nombre de dérangements égal au nombre formé par n unités dans le système binaire, c'est-à-dire 2" — i.

Ce nombre est précisément le total des combinaisons de n objets pris un à un^ deux à deux, . . . , « à /î, de telle sorte que ce jeu donne la représentation de toutes les combinaisons, sans répétition, des n objets, ainsi que l'ordre dans lequel on doit numéroter les combinaisons.