SUR LES COMBINAISONS

En général, on sait que l'on appelle combinaisons simples, ou sans répétition, de n lettres prises p k p, toutes les dispositions de p lettres qui ne diffèrent que par le choix des objets, et non par l'ordre dans lequel ils sont placés. On désigne habituellement ce nombre par C„,p, et l'on a

Dans les cours d'algèbre, on démontre ce théorème par la formule du binôme de Newton, qui donne le développement de [x 4- i)'*, en supposant ensuite a- égal à l'unité. Cependant ce théoième sur les combinaisons paraît avoir été connu bien avant la formule du binôme; voici la démonstration donnée par les anciens auteurs; elle repose sur l'idée fondamentale qui préside à l'accroissement des sciences mathématiques, c'est-à-dire sur l'observation et sur l'induction.

Prenons, par exemple, quatre lettres a, b^ c^ d\ formons toutes

Septième récréation.

les combinaisons possibles de ces quatre lettres; ajoutons-y l'unité; nous avons le tableau suivant :

ab, ac^ ad^ bc^ bd, cd^

abc, abd^ acd, bcd,

abcd.

Le nombre total des combinaisons est 2*; prenons maintenant une cinquième lettre c, formons un nouveau tableau en ajoutant cette lettre à toutes les combinaisons du tableau précédent, nous avons, en plus,

ae, be, ce, de,

abe, ace, ade, bce, bde, cde,

abce, abde, acde, bcde,

abcde.

Le nombre des combinaisons possibles de cinq lettres est le double de celui de quatre lettres ou 2^ et ainsi de suite. On retranche ensuite l'unité du tableau.