L!:S ECARTS

Considérons une permutation quelconque des n premiers nombres

ai, ^2, ^3, . • . , <3^, . . ., an)

appelons écart d'un terme la différence entre sa valeur numérique et le rang qu'il occupe; désignons-le par e, nous aurons

Gela poséj on a le théorème suivant :

Théorème IV. — Si^ dans une permutation des n premiers nombres j on supprime un terme quelconque., la variation du nombre des inversions est de même parité que l'écart du terme.

Soient ap le terme enlevé, Cp et Sp le nombre des inversions commandées et subies par lui; la variation du nombre des inversions est évidemment Cp 4- Sp. Mais le nombre des termes qui précèdent Up est (;? — i), parmi lesquels s^, sont plus grands que lui, et {p — i—Sp) sont plus petits que lui. D'autre part, le nombre des termes plus petits qui le suivent est Cp ; en ajoutant les deux dernières expressions, on trouve le nombre total des nombres plus petits que ap^ c'est-à-dire (a^ — i); on a donc

<îp — I — i? — I — s^ -i- Cp,

ou bien

dp — ~ P • dp -*"" Op j

2oC Huitième récréation.

par suite, en ajoutant le nombre pair 2Sp, on a

Cp = Cn -h s„, (Mod. 2). c. Q. F. D.