THEORIE DU GARAGE

Considérons d'abord comme taquin continental le taquin formé par un carré de quatre cases ABCD, et un circuit de forme quelconque aboutissant par ses deux extrémités à deux cases contiguës A et B du carré. On peut fermer ce circuit, soit par AB,

Huitième récréation.

soit par ACDB; de là deux circuits distincts qui se confondent sur la plus grande partie de leur parcours. On peut considérer ce taquin comme un taïuin élémentaire, et, par suite, il est toujours possible d'échanger deux positions de même classe; nous dirons que les quatre cases A, B, G et D constituent un garage

Fig. 52.

Taquin simple à garage.

Considérons maintenant un taquin plus complexe, formé d'un garagCj d'un circuit quelconque et d'un réseau formé d'em^r<^«chements qui s'insèrent les uns sur les autres, ou sur la ligne principale, en des points différents, et de telle sorte qu'il n'y ait aucune tête de ligne {fig. 53).

Supposons que, dans la position initiale, la case vide soit dans la même portion de ligne que le garage, c'est-àdire de telle sorte qu'il n'y ait aucune bifurcation entre le garage et la case vide ; si cette condition n'était pas remplie, on jouerait quelques coups afin de l'obtenir. Supposons qu'il en soit de même pour la position finale ; si cette condition n'est pas remplie, on jouera quelques coups pour arriver k une j^osition intermédiaire; on pourra toujours

Le jeu du taquin.

remettre la case vide à sa place dans la position finale, en renversant l'ordre du mouvement qui a permis de passer de la position finale à la position intermédiaire.

Fig. 53.

Taquin à embranchements et garage.

Cela posé, il est facile de voir que, dans un embranchement quelconque, on peut déplacer un cube quelconque de deux rangs; en effet, on forme un circuit fermé passant par le garage et le cube

Fig. 54.

considéré : on rentre ainsi dans le cas que nous venons d'indiquer ; cela fait, on ramène tous les autres cubes, à l'exception des trois cubesconsidérés. au moyen du mouvement de circulation (/^. 54)

2i6 Huitième récréation.

Cependant, s'il s'agissait de faire sauter G au-dessus de FH, la méthode ne s'appliquerait pas, parce que les cubes GFH ne peuvent se trouver dans un même circuit avec le garage ; alors on fait passer G par-dessus F et E; de cette façon E se trouve à la bifurcation; puis on fait sauter G par-dessus E et H ; on obtient encore le résultat désiré.

Par conséquent, dans un taquin à embranchements quelconques, sans tête de ligne, on peut toujours, par le moyen du garage, faire franchir à un cube quelconque deux cubes consécutifs, sans déranger l'ordre de tous les autres cubes. Par ce procédé, on peut remplir un embranchement quelconque dans Tordre de la position intermédiaire; on immobilise les cubes de cet embranchement, de telle sorte que l'on a diminué d'une unité le nombre des em.branchements du taquin.

En simplifiant successivement le réseau, on en déduit ce théorème :

Théorème XIV. — Dans untaquin formé d'un nombre quelconque d'embranchements et d'un garage sans aucune tête de ligne, on peut passer d'une position quelconque à une autre position de même classe.