C. R., 189S, I" Semestre. (T. CXXVI, N" 5.) 5o

soient :^ la variable complexe et x une valeur réelle quelconque de z, comprise entre a etb. On peut, de ce comme centre, décrire un cercle y de rayon p(cc) assez petit pour que la fonction F(2 ) soit holomorphe à l'intérieur et sur la circonférence de y; j F| reste alors inférieur dans y à une certaine

quantité positive M(.r). Observons que p(.r) et ^ — - peuvent tendre

vers zéro quand x tend vers a ou b. Le théorème que je démontre s'énonce ainsi :

» Théorème. — Connaissant a, h, x^ {a <^x^<^ h) el les quantités p (a?), M (•!•) (pour X compris entre a et b), on peut calculer une suite de polynômes

ivlix), n;;'(a-), ..., n;;''(.r) (/? = i,2,3,...)

tels que la série

corner ge absolument et uniformément vers F (a;) entre a et b, et soit clérivable terme à terme indéfiniment : F(r) désigne une fonction quelconque, holomorphe et de module inférieur à M(j:") dans chaque cercle y de centrer et de rayon p {x).

» De plus, étant donné un segment quelconque a/i entre a et b, et une

quanti té positives aussi petite qu'on veut, on sait connaissant p(.r) et ..

former explicitement une quantité v (x, ^, t), telle que, pour n ^ v, on ait

|R„(^)|<5. (six<a-<;i),

R„ désignant le reste de la série (i).

» Pour démontrer le théorème énoncé, je m'appuie sur un lemme, cas particulier d'un théorème déjà établi dans ma Thèse :

» Lemme. — Si la fonction F(:;) est holomorphe dans l'aire D d'une ellipse E, et si z^, est un point de Y), F(c) est développable dans D en une série de polynômes ( ' )

(2) ¥{z) = 2 P„(= ) = 2 l^'"""^»(=) + Kn„,,(:^) -f- . . . + F„"'n„,„(3)].

où les Tl„ j (^) sont les polynômes connus.

(') J'insiste sur le caractère essentiel dn développement (2). Les polynômes de Legendre, comme il est bien connu, fournissent un moyen de déyelopper !■"(;) dans E

» Soit mainlcnant E^ une ellipse dont le grand axe est un segment a^^^ de l'axe réel compris entre a et i, ellipse assez aplatie pour que F (s) soit holomorphe dans E^ et sur E,^. En considérant une suite d'ellipses E, , Eo, . . .E,,, . . ., telles que attende vers a et p^ vers 6 quand l'entier q croit indéfiniment, on parvient aisément au théorème énoncé (').,

» En particulier, si F(a^) est holomorphe pour toutes les valeurs réelles de X, elle est développahle en une série (i) tout le long de l'axe O.r. Observons que si F(3) est iiolomorphe dans une hanrlelii comprise entre deux parallèles à l'axe Ox, JM. Poincarc a indiqué des moiles de développements de

F(-) convergeant sur O.r et n'exigeant que la connaissance de F„, V[

Mais F(^) peut être holomorphe pour z réel, sans être holomorplie dans une bande B, si mince qu'elle soit.

» Des développements tels que (i) sont utiles dans la théorie des équations différentielles. Pour le faire comprendre sur un exemple très simple j>roposons-nous d'étudier i^pour x réel) les fonctions y (.r) définies par l'équation différentielle

où/est une fonction analytique de x, y, holomorphe et réelle pour .r, v

réels, et telle que 1- reste inférieur à une quantité fixe <>.. On montre que

toute intégrale y (a;) de (3) est holomorphe pour x réel, et si l'on se donne pour X = Xf, la valeur v = ya ^'^j, on sait calculer explicitement les quantités appelées plus haut p(.x") et M(.r), et par suite effectuer le développement (i) à l'aide de simples différentiations.

» Fonctions de m variables. — Les propositions précédentes s'étendent aux fonctions de m variables : soit Y {x x,„) une fonction analytique,

en série de polynômes. En 1879, M. Picard a indiqué pour l'aire d'une ellipse un autre mode de développement très élégant en série de pohnomes. Mais ces deux développements exigent quon connaisse les valeurs de F(.:) (ou au moins de sa partie réelle) sur la périphérie de l'ellipse. Le développement (2) suppose, au contraire,

qu'on connaît, pour z z^ z^, les valeurs Fo, F^

(') On peut substituer aux aires elliptiques d'autres aires convexes, par exem])le substituer à E^ l'aire A^ intérieure à deux cercles de grand rayon. La remarque faite plus haut sur le développement (2) s'applique à l'aire A^ : toute fonction F (3) holomorphe dans Aj est évidemment, d'après un théorème de M. Appell, développable en série de polynômes dans A,, mais le développement de M. Appell exige qu'on connaisse les valeurs de F (3) sur le cciilour de A,,.

( ^SS ) holoiiiorphe pour a\, . . ., x,„ réels el compris entre les limiles . (D) «,<:r,</>,, .... a,„<ix,^<Ch„„

(les rt, pouvant être égaux à — =c et les 6, à +20); soit, d'autre part, (a", . . . ,3c^]^jin point du domaine D, et ?„, (F'.r,)°,. . . les valeurs de F etde ses dérivées successives en ce point. La fonction Yix^ , . . .,x„^peui êlre représentée dans le domaine D par une série de polynômes, composés linéairement avec les quantités F„, (F' a;, )", . . . , série qui converge uniformément vers F à l'intéiieur de D et qui est dérivahle terme à terme indéfiniment. »

ANALYSE MATHEMATIQUE. — Sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles, analogues aux systèmes d'équations du premier ordre. Note de M. Jules Bkudox, présentée par M. Darboux.

« Dans une Note récente, j'ai indiqué des systèmes d'équations aux dérivées partielles analogues à une équation du premier ordre; je me propose d'étendre les résultats obtenus.

» J'ai démontré le théorème suivant : Si un système d'équations aux dérivées partielles définissant une fonction :■ de n i^ariables x^...x,^ a une solution générale dépendant d'une fonction arbitraire de p arguments, et si l'on a pris soin de le rendre linéaire par une diffère nliation, les équations qui le définissent peuvent être mises sous la forme suivante :

■'^ai...(Xf... ai, + !...«,. — -'a,...o;j...o(/, + i...a„ ^^ "i '^3;, + i...3t„

+ ^2^a,«i-i-i...a,. + • • •+ ^p''^a,...af+i...a„< a, +... + 5„=/J— I,

où l'on a posé

Ojt':' . . . ÔJi'i

« Ce système admet des caractéristiques d'ordre p — i définies par les équations suivantes :

, ..ocja;. + l...a,.)

M Si l'on se donne une mulliplicilè à p dimensions, on peut déterminer par des équations réductibles aux équations différentielles ordinaires l'orientation des éléments d'ordre p — \ des surfaces intégrales qui y passent et engendrer ensuite celles-ci par des- caractéristiques.

» Voici un exemple qui éclaircira ce qui précède.

» Si l'on pose

âxj àxn

un système linéaire du second ordre dont la solution générale dépend d'une fonction arbitraire de deux arguments peut être mis sous la forme

iPc.^ A, -!-«/>,, + i/J,j, p,: = -V, -h y.p,, -h '?p,2.

Pi; = i"m + '^Pm -^ '^P2i- P.i— Z, -i- Z/J,i-i- ?yO,.,,

f)^.^ D, — ai, — /niï., -^op,; -h bp..^= D, — xA, — ?B^-t- x/>,3-r- ^/^j,. » Les caractéristiques sont alors déterminées par les équations

dXy

OXs

ox.

dx, ,

dX;

Opx .

dx3

dx, -"•'"

dx^ ' dxz

^ =D, — a-A,,-6iil.,,

dX;

dx, "'"

^^=P,-P,a-Pj^, -^Y,=P^-P^^-P2"- »

GÉOMÉTRIE. — Sur les relations entre les éléments infinitésimaux de deux fi guresJwmo graphiques ou corrélatives. Note de M. A. Demoulin, présentée par M. Darboux.

« I. Une transformation homographique quelconque étant donnée, soient (K) la conique de la première figure qui correspond au cercle de l'infini considéré comme appartenant à la seconde figure, et (P) le plan de cette conique.

» Prenons, dans la première figure, une courbe quelconque (C), et sur cette courbe un pointarbitraire M. Le pointM', correspondant du pointM, se trouvera sur la courbe (C) transformée de la coiu'be (C).

» Soit, dans le plan (P), O, O.O3 un triangle conjugué par rapport à la conique (K) et appelons :

CT,, cj„, CÎ3 les distances des points O,, O^, O,, au plan osculateur de la courbe

O3O,, 0,0,; A la distance du point 1\I au plan (P).

» Désignons enfin par p et t les rayons de courbure et de torsion de la courbe (C) au point M, et par p' et -' les éléments analogues de la courbe (C')enM'.

» Cela posé, on a

t' A,ra'^ -1- A2ra'J -t- Ajîûj

p' ( B , 7H f -h Bo m ; -)- B., /« ; ) -

» Les coefficients A,, A^,, A.,, B,, B., B., ne dépendent que de la transformation et sont susceptibles de l'interprétation géométrique suivante : li équation

A , cî^ -4- A, v>', -h A 3 cj!; = o

représente, en coordonnées tangenliellcs ( c,, ta.,, ri;,), la conique (K) dé-

( -9^ ) finie jilus haut. L'équation

est celle du complexe des droites qui rencontrent cette conique.

» Lorsque la courbe (R) est à l'infini, les formules précédentes ne sont plus applicables, mais on peut leur en substituer d'autres présentant le même caractère de simplicité.

» IL Considérons la corrélation la plus générale et soit (C) le cùne de la première figure auquel correspond, dans la seconde figure, le cercle de l'infini.

» Soient {C) une couibe quelconque appartenant à la première figure et (C ) l'arête de rebroussement de la développable qui lui correspond. On peut dire que la courbe (C) est la transformée de la courbe (C) si l'on envisage la corrélation comme une transformation de l'espace réglé. Soient, sur les courbes (C) et (C), M et M' deux points correspondants. Désignons par X, y, z les coordonnées du point M par rapport à trois axes Oj:, Or, O::, diamètres conjugués du cône (T), et par ra la distance du sommet Ode ce cône au plan osculateur de la courbe (C) en M. Si l'on appelle - et -' les ravons de torsion aux points M et M , on aura

» Dans cette formule,

est l'équation du cône (T).

» Lorsque ce cône se réduit à un cylindre, que nous définirons par l'équation

A.r- -+- Bv- -1- C = o,

la formule ci-dessus doit être remplacée par la suivante

(D) ^^,^Ax=+Bv^-^C

cos-0

f) étant l'angle de la binormale de la courbe (C) et de l'axe de ce cylindre. » Cette circonstance se présente dans une réciprocité polaire par rapport à un paraboloïde ou par rapport à un complexe binaire. Dans ce dernier cas, la formule (D) comluit à la relation

( 392 ) dans laquelle on désigne par k le paramètre du complexe et par r et /•' les distances des points M et M' à l'axe central de ce complexe.

» L'application du théorème d'Enneper permet de déduire des formules (A), (C), (D) des relations entre les courbures totales de deux surfaces homographiques ou corrélatives.

» Pour établir les résultats énoncés dans cette Note, nous avons fait usage des formules suivantes qui donnent la courbure et la torsion en coordonnées cartésiennes homogènes (X,Y,Z,T), et la torsion en coordonnées tangentielles homogènes (L, M, N, P) :

l[W(X,T)P-h[\V(Y,T)P+[W(Z,T)Pp

» Dans ces formules, nous désignerons, d'une manière générale, par

W( j, , y.. y,i) le Wronskien de n fonctions v, . y., . . . , y,n c'est-à-dire

le déterminant formé avec ces n fonctions et leurs dérivées des n — i premiers ordres. »

GÉOMÉTRIE. — Sur les surfaces applicables sur une surface de révolution. Note de M. A. Pellet.

« La courbure totale de l'expression Er/w- + aFf/uo^ç' + Gf/i" est un invariant, quelles que soient les fonctions E, F, G ; si on la multiplie par une fonction /(ç, ^), <? et J; étant des fonctions de u et de v, et qu'on prenne la courbure totale de la nouvelle expression, les coefficients des diverses puissances de/ et de ses dérivées par rapport à 9 et à 1/ seront des invariants. On obtient ainsi les invariants de M. Beltrami. Lorsque ]Tf/„2 l nYcluch'-+- Gdv- convient à une surface de révolution, en prenant pour /une fonction de la courbure totale de cet élément {g), la courbure totale de f (g) (E du- -h -zYdudv-^ Gdv-) est une fonction de g et réciproquement.

» Ainsi, pour que l'expression A'-^du"' -h g- dv'-) soit le carré de l'élément linéaire d'une surface de révolution, A et la courbure totale étant des

( 393 ) fonctions de g, il faut et il suffit que les trois équations

(3) (Al=^'^

soient satisfaites ; F, /, /, désignent des fonctions de g. En dérivant l'équation (i) on obtient deux équations entre les dérivées secondes de g, qui, pour être compatibles avec les équations (2) et (3), exigent qu'on ait

g'gu(/g'-Ag'--^i^g^G'P)+<f,g'^y'g-^V)Y = o.

;> Cette équation détermine g^^, et g est une fonction de pu — qv (p et q constants) à moins que

alors

(4) gglu = gu§'.-

» Les équations (i). (2), (3), (4) admettent deux svstèmes de solutions :

•' ■ ^ m- cos-(«c-f-«7) '

<^ cos-(/ir ^71

m. n, p, q étant des constantes.

» Pour que les lignes u, f soient lignes de courbure, auquel cas la surface est isothermique, il faut que les équations suivantes soient compatibles :