C. R., 1898, I" Semestre. (T. CXXVI, N

( 394 ) » Pour que K'Çdiâ + di'-) soit le carré de l'élément linéaire d'une surface de révolution, la courbure de la surface étant fonction de A, il faut que A soit une fonction de/;M + qv, p et q étant des constantes. »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la décomposition des fondions Q en facteurs. Note de M. G. Humbert, présentée par M. Poincaré.

« Appelonsyb«c//o/2 thêta d'ordre m une fonction entière de deux variables qui vérifie les relations

Q(u -^ r, (') = Q(u, V + i) = ©(?/, (•), q(u + rt, c ^ Z>) = ^--"™'"+=''0(», (■ ), 0(// -f- b, (• --:- c) — e--"''^"'+"''0(//, v),

a! etp' étant des constantes. Il est clair que le produit de deux fonctions 6 d'ordres m et n est une fonction 0 d'ordre m -\- n : inversement, si une fonction 0 se décompose en deux facteurs entiers, ces facteurs sont-ils nécessairement des fonctions thêta, à des facteurs exponentiels près?

» La question doit être résolue par l'affirmative si les périodes a, b, c sont choisies au hasard ; une exception ne peut se présenter que si les périodes sont liées par une relation de la forme

(i) Art-t-B/^ -r-Cr + D(ac -/»-) + £ = o,

A, B, C, D, E étant des entiers.

» Supposons qu'il existe une pareille relation; on établit que, si la

quantité *