C. K.. 189S, 1" Semestre. (T. CXXVI. N

même manière. Mais pour l'alcool allylique, qui ne perd presque pas d'hydrogène, il faut 3 molécules de l'alcool pour fixer 2 atomes d'azote.

» 7° Ces relations doivent être rapprochées de la fixation de l'azote par les carbures d'hydrogène générateur des alcools.

» Pour le formène et l'alcool méthylique, le rapport entre le nombre d'atomes de carbone et celui de l'azote est le même.

» Pour l'éthane (ou i'éthylène), ce rapport est, au contraire, à peu près la moitié de celui observé avec l'alcool éthylique. I^a même observation s'applique au propylène, comparé aux alcools propyliques : ce qui prouve qu'il ne s'agit pas d'une relation purement individuelle.

» I molécule d'alcool allylique fixe également plus d'azote qu'une molécule d'allylène; cette fois dans le rapport de 3:5; ce qui montre d'ailleurs que la diversité de réaction par rapport à l'azote, constatée entre l'allylène et les carbures C"H-""*'- et CH'", se retrouve entre les alcools correspondants.

» 8" Signalons les résultais fournis par la fixation électrique de l'azote sur les corps isomères.

» Cette fixation a lieu suivant les mêmes rapports sur les deux alcools propylique normal et isopropylique ; précisément comme sur le propylène et le triméthylène.

» Au contraire, les trois phénols diatomiques ont présenté, à cet égard, des diversités considérables; lesquelles tiennent peut-être, en partie du moins, à la vitesse inégale de l'absorption de l'azote par des composés solubles de cohésion différente.

» 9° Il existe évidemment une relation entre la perte d'hydrogène éprouvée par les carbures et les alcools saturés sous l'influence de l'effluve, et la fixation de l'azote par ces composés. A première vue, on serait tenté de rapprocher cette perte de celle qui transforme ces alcools en aldéhydes, et, par conséquent, de regarder les composés azotés comme des dérivés aldéhydiques proprement dits. Cette opinion, par le fciit, trouve quelque appui dans la circonstance qu'une molécule d'allylène, d'acétylène, d'alcool allylique (et des phénols) ne fixe l'azote qu'en dose relativement fort inférieure à celle qui est fixée par les alcools et les carbures éthyléniques. Cependant, on peut objecter que l'alcool allylique, l'allylène, l'acétylène et les phénols, l'hydroquinon en particulier, ne perdent point d'hydrogène en proportion bien sensible sous l'influence de l'effluve. Une telle circonstance tendrait à établir que les composés azotés, formés sous

( <^27 ) l'influence de l'effluve, ont plutûl une constitution cyclique,c'est-à-ilire celle de corps relativement saturés : ce qui les rapproche des séries pyridique et quinoléique, dérivées elles-mêmes, comme on sait, des aldéhydes par condensation moléculaire. »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Les fonctions fuchsiennes el i équation \u = e". Note de ]M. H. Poixcaré.

« Parmi les équations de la forme

où o est une fonction rationnelle de deux variables x et y liées par une relation algébrique donnée

parmi toutes ces équations, dis-je, qui admettent des points singuliers donnés et de telle façon que la différence des racines de chaque équation déterminante soit un entier donné, il v a toujours une équation fuchsienne, c'est-à-dire engendrant des fonctions fuchsiennes.

» Nous avons donné de ce fait, M. Klein et moi, une première démonstration fondée sur le principe de continuité. Plus tard, M. Picard a ramené la question à l'intégration de l'équation

(3) Am = ^"

et il a démontré l'intégrabilité de cette équation par une méthode qu'il a imaginée et qui consiste àl'établir d'abord pour un domaine assez petit pour l'étendre ensuite au plan entier.

» Voulant éviter ce détour, j'ai cherché une méthode nouvelle dont je vais exposer maintenant le principe.

» J'introduis la surface de Klein : c'est une surface fermée; à tout point réel de cette surface correspond un point imaginaire de la courbe (2) et

inversement. Je pose d'ailleurs

Du = Am -7- )

où </u est un élément de la surface de Klein et dD. l'élément correspondant

( ^'-^8 ) du plan (les œ. L'équation (3) se ramène alors à la forme

(4) DU = 0e'^'— <!',

où fi et $ sont deux fonctions données, la première toujours positive.

» Le problème de la formation de l'équation fuchsienne se ramène à la détermination de la fonction U qui doit être partout finie.

» L'analyse repose sur certaines inégalités très simples qui se déduisent d'une remarque unique : si U est maximum, Dtf est négatif; si U est minimum, DU est positif.

» Je commence par intégrer l'équation

où o est donnée; cette intégration n'est possible que si

Jo Jl<i = o,

l'intégrale étant étendue à tous les éléments r/w de la surface de Klein. L'équation (5) est de môme forme que l'équation bien connue de la théorie du potentiel

Au = o,

que l'on intègre par la fonction de Green. L'équation (.)) s'intègre par un procédé analogue; la fonction qui joue le rôle de la fonction de Green est la partie réelle d'une intégrale abéiieniie de troisième espèce facile à former.

» J'étudie ensuite l'équation

(G) Bu = lr,ll — o —l'h,

où •/), ç, (|/ sont tiois fonctions données, la première toujours positive et où 1 est un paramètre positif.

» Je montre d'abord que l'équation est intégrable pour les petites valeurs de >. et que l'intégrale peut se développer suivant les puissances de >.. Je montre ensuite que, si elle est intégrable pour >, = >.„, elle le sera encore pour les petites valeurs de 1 — >.„ et que l'intégrale peut se développer suivant les puissances de 1 — 1^. Je conclus que l'équation est intégrable pour toutes les valeurs positives de \.

» Il y a un cas où cette méthode est en défaut. C'est quand le polvgone fuchsien a des sommets sin- le cercle fondamental; dans ce cas il v a des

( <^39 ) points où les fonctions r, et 6 deviennent infinies comme

» Dans ce cas d'ailleurs, la méthode de M. Picard est également en défaut. Je ne puis entrer dans le détail des artifices que j'ai dû employer pour triompher de cette difficulté. Cela a été la partie la plus longue de mon travail.

» Je me bornerai à dire que l'intégrale est toujours finie, qu'elle peut se développer suivant les puissances de )., mais que les termes du développement peuvent devenir infinis.

)! C'est ainsi que la fonction x^- reste finie pour x ^= o, si >. est positif: qu'elle peut se développer suivant les puissances de /.

x' =z 1 + 1 logx ■+- — (!ogj~')- -I-. . ..

mais que les termes du développement deviennent infinis pour x = o. » Cette difficulté vaincue, j'aborde l'équation

(7) D« = Oe"- 9 — }.i,

où 0, o et y sont connus et positifs, et où 1 est un paramètre positif.

» Te suppose qu'on sache intégrer l'équation (-)pour l = o; je puis alors former une série procédant sui\ant les puissances de a et satisfaisant à (")■ J'obtiens chaque terme par l'intégration d'une équation de la forme (6); et, grâce aux inégalités établies au début, je montre facilement que la série converge, si X est assez petit.

» On peut démontrer alors de proche en proche, comme pour l'équation (6), que l'équation est intégrable pour toutes les valeurs positives de)..

» En résumé, l'éqtiation ( 4^ est intégrable si <î> est toujours positif, et il est aisé de conclure qu'elle l'est encore pourvu que

(8) /"<î>f/co>0.

» Cette condition est nécessaire et suffisante. Il reste à véiifier que cette condition (8) est remplie dans les applications que l'on a à faire aux fonctions fuchsiennes. Cette vérification est facile.

» On peut entrevoir la possibilité d'une démonstration rigoureuse fondée sur le calcul des variations. Il est aisé de former une intégrale double qui doit être minimum si l'équation (4) est satisfaite. Mais ce genre de raison^

nement n'est pas satisfaisant parce que, cette intégrale dépendant d'une fonction arbitraire, il n'est pas certain qu'elle ait un minimum proprement dit.

)) Heureusement, dans le problème qui nous occupe, la fonction inconnue o(.r, y) doit satisfaire à certaines conditions; elle dépend seulement d'un nombre fini de constantes inconnues. La fonction u dépendra donc elle-même d'un nombre fini de constantes inconnues. Notre intégrale double, ne dépendant plus d'une fonction arbitraire, mais d'un certain nombre de paramètres arbitraires, aura certainement un minimum et la démonstration pourra devenir rigoureuse. »

MÉMOIRES PRÉSENTÉS

MÉCANIQUE. — Sur un cas part iculier du moiH'ement des liquides.

Mémoire de M. E. Fo^ntaneau. (Extrait par l'auteur.)

(Commissaires : MM. Boussinesq, Sarrau, Callandreau.)

« Ce Travail est la suite d'une Communication faite à l'Académie dans sa séance du 28 novembre 1896. Par une transformation très simple des équations générales de l'Hydrodynamique, mais à laquelle me paraît correspondre une proposition qui a quelque analogie avec le principe des aires, j'y ai mis en évidence une fonction n définie par l'égalité