I.^-+-Mr/ + N/=II

où p, q, r désignent les composantes de la vitesse du liquide et L, M, N les composantes de la rotation élémentaire, ou, suivant une expression due à Helmholtz et plus usitée, du tourbillon.

» Je me suis actuellement proposé d'abord d'intégrer les équations de l'Hydrodynamique dans le cas particulier ou l'on aurait II = o, c'est-à-dire lorsque l'axe de la rotation élémentaire est, en tous les points de la masse fluide, perpendiculaire à la direction de la vitesse. J'ai dû pour cela employer le système de coordonnées curvilignes biorthogonales. Comme ce système n'a encore donné lieu à aucune application importante et n'est qu'imparfaitement connu, j'ai été obligé d'en exposer les principales propriétés.

)) La suite naturelle des idées m'a conduit à rechercher s'il était possible de donner plus d'extension au procédé dont je m'étais servi dans un cas particulier. C'est un but que j'ai atteint, grâce à une légère modification

( 63i ) (lu calcul; il en est résulté une méthode générale crintêgralion des équations eulériennes de l'Hydrodynamique, dont je n'ai d'ailleurs pas fait d'application.

)) Pour éviter l'équivoque, je dois prévenir ici que je donne au terme iY intégration le sens précis que lui donnait Lagrange, ainsi que les géomètres de son temps. Je ne pouvais pas me proposer d'autre objet, parce que les conditions aux limites ne sont encore qu'imparfaitement définies, comme on peut s'en assurer par une lecture attentive des leçons de KirchhofTsur la Physique mathématique.

» Quoi qu'il en soit, l'esprit de la méthode en question consiste à substituer, aux composantes de vitesse et de rotation, une fonction unique des équations de deux séries de surfaces qui servent à définir les filets liquides; d'où il résulte qu'on est obligé, dans tous les cas, de faire usage d'un système de coordonnées curvilignes. »

M. O. Jéxi.v adresse un ^Mémoire relatif à l'emploi de l'hydrogène pour le gonflement des aérostats.

(Commissaires : JDI. Cornu, Mascart, Cailletet.)

M. Chaxtro.x adresse un complément à sa théorie de l'aviation. (Renvoi à la Commission des aérostats.)

M. Rav adresse, de Calcutta, un Mémoire sur l'histoire de l'Alchimie indienne.

( Renvoi à l'examen de M. Rerthelot.)

CORRESPONDANCE

M. le Secrétaire perpétcel signale, parmi les pièces imprimées de la Correspondance, une brochure de M. Jules Michel intitulée : « Le centenaire du mètre. Les précurseurs du Système métrique et les mesures internationales ». (Présenté par M. de Lapparent.)

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la Iransformation (rEuler et la détermination des points singuliers d'une fonction définie par son développement de Taylor. Note de M. Euxst Lisdelof, présentée par M. Picard.

« Soity(j7) une fonction analytique définie au voisinage du point x ^= o par la série entière

dont nous supposons, pour simplifier, le rayon de convergence égal à l'unité. Nous appliquons à /{j^) la transformation d'Euler

( 2 ) .r = — — , (i ou y =

» La fonction transformée, /"( ) = o(v), sera définie, dans le do-

mainc du point y = o, par le développement

où c„ = a^, et

Ca =«« — (n—i)a„, +

« Or, par la transformation (2), la partie T du plan x, située à gauche de la droite x = r,, est représentée d'une manière conforme sur le cercle C du plan y ayant l'origine pour centre et le rayon égal à l'unité. Donc, si la fonction y(jc) est régulière à l'intérieur de l'aire T, 9(y) sera régulière dans le cercle C et, par suite, la série ( 3) sera convergente pour | J | <I i , en sorte quey(a^) sera représentée, pour tout point de T, par le développement

Cg + C, — h . . . + f„ ( ^ ) + . . . .

» Dans les cas où il se trouve, à l'intérieur de T, des points singuliers de la fonction/(^), le rayon de convergence p de la série (3) sera inférieur à I ; mais ce rayon est au moins égal à i, puisque au cercle [ y | ^ ^ correspond, dans le plan de la variable ,r, un cercle ayant pour diamètre le segment — i h ^ de l'arc réel. On voit donc que p est égal à ^ ou est

( {yy^ )

plus grand que ^, suivant que a:= — test, pour/( .r ), un point sin£iiiliei ou ordinaire.

» La transformation d'Enler est un cas particulier de la suivante :

on nous désignons par y. une constante réelle et /losi/nc. Cette dernière transformation réalise la représentation conforme sur le cercle (; de la

région T' du plan œ, située à gauche de la drtute .v = -■ Après la transformation, la série (i) deviendra

(/> — iU«

Si /(a;) est régulière dans T', le rayon de convergence S' de cette série est égal à un; dans les autres cas p' est inférieur à i, mais au moins égal à

On aura s'> ou p'= suivant nue la fonction /{ r ) est ou

non régulière au point r =: — i , z avant d'ailleurs une valeiu' positive quelconque.

» Pour rechercher si mi point donné f'\ situé sur le cercle de convergence de la série (i), est un point singulier, ou pourra appliquer les considérations précédentes, après avoir fait la substitution x- == c''''^^-' z.

» On comprend, dès lors, le parti que l'on pourra tirer de la transformation d'Euler pour déterminer les points singuliers situés sur le cercle de convergence ou même, dans bien des cas, en dehors de ce cercle. La question revient en somme à calculer le rayon de convergence de la série (i) ou de la série plus générale [.\), où l'on aura attribué à ■/. une valeur convenable.

» Cette méthode permet encore d'établir rapidement plusieurs résultats antérieurs, relatifs aux conditions que doivent remplir les coefficients tl'une série, pour que l'on puisse affirmer qu'un point donné de son cercle de convergence est un point singulier, ou que la série admet ce cercle comme coupure. En voici un exemple. Posons c/„ ^ o"^'^"' ^^ admettons que cos(7.„— y.j,) > v. > o, pour toutes les valeurs de n et p supérieures à /(•. Nous nous proposons tie démontrer que x = i est un point singulier.

» Pour qu'il en soit ainsi, il laut et il suffit qu'en posant