C. K., 189S, I" Semestre. (T. CWVI, N

(034) on ait, pour une infinité de valeur de n,

quelque petite que soit la quantité positive s. Or, la série (i) étant divergente pour |.r| > I, nous pouvons trouver une suite indéfinie de nombres

entiers croissants 7/,, /jj /;,, ..., tels que ^„/>(i — s)"'. En égalant à

zéro les coefficients «,, o,, ...,a^., ce qui n'a aucune influence sur le sujet qui nous occupe, on trouve donc que l'expression

kl„,r = 5'L,+ 2(2/?^- i)5',„,S',„,__,cos(a,„ -oc,„__,)-f-...-f-(r,':;, ,§',J= + ... est supérieure à

» D'autre part, l'application de la formule de Stirling au coefficient binomial montre que sa racine 2/?,"^""^ tend vers 2 lorsque /, et par suite /?,, augmente. A partir d'une certaine valeur de i, on aura donc

v'|c..„J ,;■ sy'i — 2 > 2( I — : ).

» Le point a- = 1 est donc bien un point singulier. c. q. f. n.

» Mais le principal avantage de la transformation d'Euler est évidemment de fournir un moyen /jr^/Z^^we pour calculer les valeurs d'une fonction définie |)ar une série entière au\ points situés sur le cercle de convergence ou dans certaines régions en dehors de ce cercle, ou encore pour augmenter la convergence de la série. C'est dans ce dernier but qu'on s'est généralement servi de celte transforn)ation, mais il me semble qu'on ne s'est pas bien rendu compte de la raison théorique qui assure le succès de la méthode. »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une extension de la méthode de quadrature de Gauss. Note de M. Henuy Iîoirget, piésentée par iM. l'icard.

« 1. Dans un Mémoire inséré au Tome [V des Annales de la Faculté de Toulouse, M. Appell a étendu aux intégrales doubles la méthode de quadrature de Gauss. M. Appell substitue, à la fonction à intégrer, un polvnome de degré/? déterminé par la condition de |)rendre les mêmes valeurs

que la fonction en — ~ points donnés par leurs coordonnées dans

le contour d'intégration et choisis de manière à rendre l'approximation

maximum. Ces coordonnées .satisfont, |)ar là, a un assez giantl nonilne (i'éqnations simultanées.

» J'ai considéré un cas particulier d«' cette généralisation, et la netteté du résultat m'a semblé pouvoir intéresser l'Académie. Ce cas vient se ranger à côlé de la généralisation bien connue de INIinding, mais est moins banal que celte dernière.

» 2. Nous nous proposons d'éxaluer. par quadrature, l'intégrale

.F= f \'f{.i,y)d.v,ly,

étendue à l'intérieur d'un cercle c de rayon [, avant son centre à l'origine, en supposant que la fonction à intégrer est développable en série de puissances à l'intérieur du cercle c.

» Prenons deux polvnomes de de^ré p

Pi'.r, V) et (J(.T,v\

dont les racines soient toutes conununesà l'intcricur du cercle c, et substituons à la fonction f(.v, y) un polvnome o(x, >'), prenant les mêmes valeurs/,, /^, fp- que la fonctionyaux points communs auxdçux courbes

P(,r, v) = o et 0(\r, v) = o.

» Cela étant, nous frou\ons cpie l'intégrale ,1 coïncide avec l'intégrale

1= f / o( ./-, V ) (U- <iy = A , /; + A,y, -t-. . . -I- A,,-./;,--

jusqu'aux termes d'ordre^— i en x, y inclusivement, et que les constantes A, ne dépenilent cjuc des p(jints communs aux courbes P(.r, vj ^ o, Q(j:, v)^ o et nullement de la fonction /.

» 3. Peut-on choisir les polvnomes 1* et Q, de manière à rendre, pour un degré p, l'approximation plus grande et comparable à celle île Gaiiss?

)> Nous trouvons qu'en prenant

t).i'' ''" - ÔY''

Up„ et U„.p étant les polvnomes extrêmes de AI. Hermite, les deux intégrales J et I concordent jusqu'aux termes d'ordre 2/^ — r inclusivement. » D'autre part, ces polynômes satisfont aux conditions supposées ; car M. Hermite a démontré queU^, „ = o représente /j moitiés d'ellipse, données

sénai'onienl unr — '- = 7., où y. csL iiiip (|iielcon([uo des r;icii)es du [tnlv-

nome de Legeiulie X^ et t|iie U,, ,, = o représente le même système tle courbes tournées de <}o° aulonr de l'orij^ine. Ces deux systèmes déterminent bien /r points situés à l'intérieur du eercle ./- + V' —1^0.

» 4. Voici le Tableau des coordonnées des points communs à U^,„ = o et U,| n = o pour les premières valeurs de/J et les valeurs des constantes A, correspondantes. Pour abréger, nous ne donnons que les points situés dans le premier quadrant. Les autres s'obtiendront en prenant les symétriques par rap|)ort aux axes et à l'origine et en remarquant que deux constantes A, correspondant à des points symétriques sont égales.

iS i\ 1 i.i i2-!-V''l'îo / i'-»-^ y/120

/i8 4-v'i'?o /12 — \ l'îo 19. 4-V120

OPTIQUE. — Sur des luiielles aulocnllirnalriccs à loni^tic portée cl un vérificateur opticjue (les lignes et surfaces de rnacidnes. Note de ^I. Cii. Dkvîc, présentée par i\1. A. Cornu.

« l,es lunettes autocollimatriccs à réticule éclairé ne donnent qu'une image très petite et vague, dès que le miroir sur lequel est cbrigé l'instrument se trouve un |)eu éloigné; cet inconvénient résulte de la quantité insuffisante de lumière renvoyée dans la lunette et des moindres imj)erfeclions du miroir qui jjroduiseiit de la disjieision. Les lunettes autocoilimatrices comportant comme objet lumineux un petit tiou percé dans un écran situé dans le |)lan focal de l'objectif ne donnent plus aucune image dès que le miroir est éloigné de quebpies mètres; à cette dislance, en eflet, l'image,

( 6-^7 ) pour être visible, doit se former très près de l'objet: elle est alors complètement masquée par l'écran.

» Lunettes. — Les lunettes que j'ai établies permettent d'emplover comme objet lumineux un petit trou dans un écran situé dans un tube éclaireiir latéral et de faire autocoUimation à une distance quelconque (pratiquement, à i5™ ou 20"" avec une lunette de o"'.4o de focale ).

» L ne lame inclinée e>t interposée dans le corps de lunette en l'ace du tube éclaireur, mais celte lame, sous peine de donner deux images, doit être infiniment mince;

VVJ.. T.

Objectif

la lame rétlécliissante emplovée est une lame d'air AU d'environ o""",! comprise entre deux prismes ABC et ABDE. Les faces CB et AE sont parallèles; la face DE normale au tube éclaireur est symétrique de la face CB par rapport à la lame mince.

» Grâce à ces dispositions, les ravons qui traversent le prisme et ceux qiii se réfléchissent sur la lame mince ne subissent aucune décomposition et les images observées sont parfaitement achromatiques, si l'on a eu soin il'achromaliser le système prisme-objectif. L'inclinaison de la lame mince a été calculée de façon à obtenir le maximmn d'inlensité luminetise des ima°;es observées tout en évitant la réflexion totale ( ' ).

>' Cette lame n"a j)as ses faces rigoureusement parallèles; elles font eiUre elles un angle très petit de façon à superposer les deux images dans le sens de l'axe de la lunette ; cet artifice permet de donner à la lame une épaisseur assez grande pour éviter les franges d'interférences qui communiqueraient leurs colorations aux images.

» Deux modèles de lunettes autocollimatrices à longue portée ont été établis. Le premier comporte un réticule fixe et un oculaire positif. Le second modèle comporte un oculaire négatif à grand champ sans réticule

(') La perfection des diverses faces du prisme est une condition essentielle de la netteté des images; je dois rendre hommage ici à l'habileté de M. l'ingénieur Jobin (pii a construit les parties optiques de ces appareils.

et une glace plane à faces parallèles faisant corps avec lu lunette et placée devant [objectif; cette glace donne, par autocollimation, une image fixe qui remplace le réticule; un autre avantage de la glace est de produire avec le miroir sur lequel est pointée la lunette une série d'images secondaires par réflexions multiples, comme dans le collimateur de Fizeaudans l'appareil qui a servi au tracé des prototv|)es interniitionaux.

1) Grâce à ce dispositif, on voit l'acilemenl trois ou quatre images; les déplacements de la troisième image, par exemple, étant trois fois plus grands que ceux de la première, les inclinaisons du miroir sont évaluées trois fois plus exactement en se servant de la troisième image qu'en se servant de la première; la superposition des images mobiles à l'image réticulaire se fait aussi avec une très grande précision, puisque, toutes les images se centrant ensemble, la moindre erreur de centrage se traduit par une ovalisation apparente de l'image uni(|ue.

» Toutefois, les avantages ((ue présente ce second dispositif ne sont pratiquement utilisables que pour des visées sur un miroir assez rapproché; |)oin' de plus grandes distances, le nombre des images secondaires diminue, et, d'ailleurs, la nécessité où l'on est de les enchevêtrer les unes dans les autres pour les maintenir dans un champ restreint, produit une certaine confiJsion.

fi Un autre dispositif a été établi en vue de ce cas particulier.

» Un segment a de la glace parallèle est argenté et le miroir sur lequel se fait d'ordinaire l'autocollimation est remplacé par un prisme droit à go° dont l'Iiypoténuse fait face à la lunette. L'arête du dièdre droit étant placée vis-à-vis du bord b du segment argenté, la face MN seule reçoit les rayons émis par la lunette; ces rayons

Char

ot

a. pr,

ïonl succesbi\emmit réilécliis par la lace NP, le segment rt, les faces W et AM et renvoyés dans la lunette. Grâce à ces réilexions successives, l'image observée se déplace avec la même amplitude que le ferait la deuxième image dans le cas des images multiples produites entre deux glaces ])arallèles et possède une intensité lumineuse considérable.

» Un autre avantage non moins appréciable tie ce système est que le prisme est insensible aux désorientements qui peuvent se produire parallèlement à sa base; on limite ainsi les déplacements de l'image au

(. <'39 ) sens vertical ou au sens horizontal, suivant la position que l'on donne au prisme, ce qui élimine des écarts accidentels souvent gênants.

» Miroirs mobiles. — Un jeu de chariots porte-miroir permet, entre autres opérations, de contrôler la rectitude des trous cylindriques, des règles ou des marbres de toutes dimensions, ce qu'aucun instrument n'avait permis de l'aire d'une façon pratique jusqu'à ce jour ('). D'autres chariots portant deux miroirs en demi-cercle, solidaires de touches diamétrales, servent à vérifier les variations de diamètre des trous cylindriques des machines et des bouches à feu, et constituent des étoiles mobiles à indications continues permettant de localiser sur une génératrice ou sur l'autre les dépressions et saillies accidentelles.

» Organes mécaniques de l'appareil. — La lunette est montée sur un support comportant une translation horizontale et une translation verticale d'environ o'",3o d'amplitude permettant de déplacer la lunette parallèlement à elle-même pour l'amener en face des différentes lignes ou surfaces dont on veut vérifier le |)aralléiisme. Ces déplacements sont obtenus d'une façon rigoureusement parallèle par le dispositif suivant :