PRIX EXTRAORDINAIRE DE SIX MILLE FRANCS

(Commissaires : MM. de Bussy, Giiyou, de Jonquières, Sarrau, Bouquet de la Grye.)

Rapport sur les travaux de MM. GossoL et Liouville; par M. Sakrad.

Les formules usuelles du freltage des bouches à feu sont fondées sur les conditions de l'équilibre élastique d'un tube cylindrique. On suppose, pour établir ces conditions, qu'une pression constante et uniforme s'exerce sur chaque surface cylindrique limite et que des tractions, égales et opposées, constantes et iniiformes, s'exercent sur les sections planes extrêmes.

En fait, dans le cas des canons, le problème se présente autrement : l pression intérieure et la traction sur la tranche de culasse sont des fonc-a tions du temps; la Iraction sur la tranche de la bouche se réduit à zéro. Rien ne permet donc de supposer a priori q\.\e les déformations ainsi produites aient quelque analogie avec les déformations d'équilibre.

Le général Virgile a déjà signalé cette difficulté : « Si la pression des gaz, dit-il, se développait assez lentement pour qu'il y ait, à chaque instant, équilibre entre cette pression et les résistances élasliques de toutes les tranches de métal, le travail moteur des gaz serait, également à chaque instant, détruit par le travail résistant de l'élasticité et les choses se passeraient comme dans le cas d'un équilibre statique ('). » Si, au contraire, la pression atteignait instantanément son maximtnnet s'y maintenait un certain temps, la déformation serait tout autre et, de l'analyse approchée du phénomène, le

(') Études sur la résistance des tubes métalliques simples ou composés, avec application à la construction des bouches à feu. (Mémorial de l' Artillerie de la Marine, t. I).

(6- ) général avait conclu que « Texpansion de l'àme de la bouche à teu », pour la même pression maximum, était double de celle qui se produit dans le cas précédent.

En pratique, la pression des gaz est rapide, mais elle n'est pas instantanée et la déformation doit se placer entre celles qui correspondent à ces deux cas extrêmes.

L'emploi des poudres lentes s'étaut aujourd'hui généralisé, il se peut que le développement de la pression soit assez ralenti pour que la déformation statique se produise sensiblement, de manière à rendre suffisamment exactes les formules de frettage.

Telle est la question que AIM. Gossot et Liouville étudient dans leur Mémoire sur les vibrations élasli(jues et ta résistance des canons. Ils considèrent un tube simple soumis, ainsi qu'il a été dit plus haut, à des efforts superficiels fonctions du temps et ils déterminent par une analyse rigoureuse, suivant la théorie de l'élasticité, les déformations qui en résultent.

Pour faire le calcul il faut d'abord connaître les fonctions qui expriment la pression et la traction sur les surfaces limites; les auteurs y parviennent en admettant, d après de nombreuses expériences, que la pression développée en un point de l'âme par les gaz de la poudre peut être représentée d'une façon très approchée, jusqu'au maximum et même un peu au delà, par l'expression A(i — cosx/), A et a étant des constantes. La première, A, est la moitié de la pression maximum; la seconde, a, caractérise la vivacité de la poudre.

La solution se développe ensuite suivant les méthodes ordinaires de la Physique mathématique. Le déplacement d'un point quelconque de la masse élastique se compose d'un déplacement radial s et d'un déplacement longitudinal »'; les quantités (e, w) sont des fonctions de trois variables (r, z, t) désignant la distance de ce point à l'axe du tube, sa distance à la tranche de culasse et le temps. Ces fonctions satisfont à deux équations aux dérivées partielles, aux équations à la surface et aux conditions imposées par l'état initial du tube qui est le repos, avec des vitesses nulles de tous ses points; elles sont ainsi complètement déterminées.

Les auteurs évaluent successivement i et w, et les méthodes qu'ils emploient pour ces deux déplacements sont fort différentes, ces différences se justifiant par la nature même des questions traitées. De plus, pour simplifier les calculs, qui restent encore fort complexes, ils se sont limités à

( t>8 ) l'étude (les phénomènes qui se passent snr les surfaces limites. Les résultais qu'ils obtiennent ainsi sont les suivants :

En chacune des sections normales extrêmes, le déplacement i peut être regardé comme résultant de plusieurs autres. Le premier est indépendant du temps; c'est un déplacement statique, celui qui correspondrait aune pression intérieure égale à A et à deux tractions opposées, constantes et uniformes, agissant aux extrémités du tube, ces tractions se réduisant à zéro snr la section qui est du côté de la bouche. A ce déplacement il faut

ensuite superposer un mouvement périodique, de période —et d'amplitude

connue, que les Auteurs appellent momement principal; en?in une infinité de mouvements périodiques qui sont les A'ibrations propres du canon.

Pour avoir les périodes de ces derniers, on est conduit à calculer les racines d'une équation transcendante dépendant des fonctions de Bessel d'indice zéro et de leurs premières dérivées. Leurs amplitudes sont les coefficients du développement d'une fonction simple an -\- b suivant les produits de r par des fonctions de Bessel portant sur certains multiples de la variable r.

Les valeurs numériques de ces élémentsdépendent d'une variable caractéristique -^) To désignant le temps que le son met à parcourir l'épaisseur

(lu tube et t désignant le temps que la pression intérieure met à atteindre son maximum. I>a valeur de cette variable est telle, dans les conditions normales des bouches à feu, que l'amplitude des vibrations est absolument négligeable; il ne reste donc que le déplacement statique et le mouvement principal dont l'élongation maxiniii est à très peu près égale à ce déplacement.

Il en résulte comme conclusion que le maximum du déplacement radial équivaut, sauf une différence inappréciable, au déplacement qui assurerait l'équilibre sons une pression constante égale à 2A, c'est-à-dire la pression maximum.

Quant au déplacement longitudinal w, il satisfait à une équation aux dérivées partielles dont on a immédiatement l'intégrale générale avec deux fonctions arbitraires explicites, et c'est dans la recherche de la solution satisfaisant aux conditions aux limites, que se trouvent les seules difficultés du problème. La solution définitive est donnée, non par une expression unique, fonction analytique de z et de t. mais par une série d'exprès-

( 69 ) sioDS de cette espèce qui se succèdent et se raccordent les unes aux autres. Le mouvement qu'elle représente peut être regardé comme formé par une série d'ondes se propageant dans le tube et se réfléchissant à ses extrémités.

Le calcul montre que, dans les conditions ordinaires de la construction et du chargement des bouches à feu, c'est à l'une des extrémités du tube, celle qui est du côté de la culasse, que se produit le maximum de la déformation et, de plus, que cette déformation ne diffère pas sensiblement de celle que réaliserait léquilibrc sous une pression constante égale au maximum de la pression effectivement appliquée et deux tractions opposées, constantes aussi, et égales au maximum de la traction effective.

En résumé, pour le déplacement longitudinal comme pour le déplacement radial, le tube constitue un système élastique résistant aux efforts qu'on lui foit subir suivant un mode dont les différences avec le fonctionnement statique sont numériquement négligeables, en sorte que le résultat définitif de ces recherches implique la justification des calculs de résistance tels qu'ils sont faits aujourd'hui par l'Artillerie de la ^Larine.

Ce résultat est il'une haute importance et, pour l'obtenir, les Auteurs ont déplové un grand talent d'aualvstes et une extrême habileté dans les calculs pénibles et compliqués que les vérifications rendaient nécessaires; la Commission propose de leur décerner un prix sur les fonds mis à la disposition de l'Académie par le Département de la Marine.

Rapport sur les travaux de M. Décante, par .AL Guroc.

La détermination de l'azimut d'un astre est le problème astronomique que les marins ont le plus fréquemment à résoudre à la mer. Cet élément est, en effet, nécessaire soit pour vérifier les compas, soit pour tracer les droites de hauteur.

Les marins, qui connaissent toujours leur latitude avec une approximation suffisante pour ce problème, peuvent obtenir l'azimut d'un astre dont la déclinaison est connue soit en mesurant sa hauteur, soit en utilisant l'angle horaire déduit du temps local et de l'ascension droite.

La première méthode est peu en usage, elle exige une observation au sextant; elle n'est pas toujours applicable, la nuit par exemple ou par temps de brume.

Par la seconde, au contraire, l'Officier de Clarine peut, à laide d'une