C. R., 1898, I" Semestre. (T. CXXVI, N
( 7'2 ) à périodes plus longues : le premier aurait une période de i^.S, avec un coefficient de o",o4; le second une période de 9^,3, avec un coefficient de o", lo, et cette dernière oscillation, au contraire des autres, se propagerait de l'est à l'ouest.
» L'auteur fait remarquer que cette période est celle d'une demi-révolution des nœuds de l'orbite lunaire, et que l'argument du terme dont la période est de i*, 8 vérifie une relation de commensurabilité avec les deux arguments de Chandler. Ce sont là des coïncidences curieuses qui méritaient d'être signalées, bien que la théorie n'indique pas l'existence de termes de cette nature ; il se peut d'ailleurs que la discussion de matériaux plus complets et plus homogènes conduise plus tard à modifier les nombres en question, car la petitesse des coefficients, qui sont ici de l'ordre des erreurs d'observation, rend nécessairement la détermination des périodes très précaire. Quoiqu'il en soit, l'inspection des Tableaux graphiques, qui montrent la courbe calculée des variations de latitude au-dessous de la chaîne des écarts observés tant à Lyon que dans un grand nombre de stations étrangères, fait ressortir l'accord réalisé par la formule de j\L Gonnessiat. il y a là, assurément, une tentative de représentation empirique des écarts qui est digne d'attention.
)) Si nous ajoutons que ce travail renferme la détermination d'une série de déclinaisons absolues d'une haute précision, puis encore l'évaluation de deux parallaxes stellaires et une nouvelle détermination de la constante de l'aberration, on comprendra que le Mémoire qui a été soumis à l'Académie contient des résultats importants, et nous pensons qu'il y a lieu d'en demander l'insertion au Recueil des Savanls élrangers. »
Les conclusions de ce Rapport sont mises aux voix et adoptées.
MEMOIRES PRESENTES
ASTRONOMIE. — Suri' « Histoire céleste du xwn'^ siècle » f/e Pingre. Note de M. G. BiGOURDAN, présentée par M. Bertrand.
(Renvoi à la Section d'Astronomie.)
« En i7')G, Pingre annonça le projet de réunir et de discuter les observations astronomiques faites de i6oï à 1700 (').
(') Projet d'une Histoire d'Astronomie du xvn' siècle, 1756 (8 p. in-4°); suivi
» Un pareil recueil lui parait, dit-il, « d'une extrême importance ». Obligé de se borner, il a choisi le xvii^ siècle comme l'époque « la plus in- » téressante pour l'Astronomie », et comme celle dans laquelle il croit pouvoir réussir le mieux. Déjà il connaît les Ouvrages imprimés à consulter, et il doit avoir communication des riches manuscrits des Cassini, de Delisle, etc.
» Mûri pendant trente ans, ce projet tut exécuté de 1 786 à 1 790. A cette dernière époque le manuscrit, [)résenté à l'Académie, fut l'objet d'un Rapport très favorable de Le Monnier et de Lalande (9 février 1791) : à la suite de ce Rapport, l'Assemblée Nationale accorda 3ooo livres pour la publication de l'Ouvrage (24 février 1791)- L'impression avança assez lentement; puis la mort de Pingre (i" mai 1796) la fit suspendre, alors qu'elle n'était avancée qu'aux deux tiers de l'Ouvrage entier.
» A partir de cette époque, on perd de vue non seulement le manuscrit, mais aussi les feuilles déjà tirées et qui paraissent avoir été détruites. Aussi craignait-on que tout fût définitivement perdu, quand diverses circonstances ont fait retrouver d'abord un exemplaire complet des feuilles tirées (l'exemplaire même de Jérôme Lalande), puis la partie restée manuscrite.
» L'Ouvrage a pour titre : Annales célestes du xvu* siècle. Voici ce qu'U donne, année par année, suivant l'ordre chronologique :
» Soleil. — Observations d'éclipsés. — Autres observations : passages méridiens, hauteurs méridiennes, diamètres, taches. — Déterminations d'équinoxes.
» Lune. — Observations d'éclipsés. — Autres observations : passages méridiens, hauteurs méridiennes, distances à des planètes ou à des étoiles, occultations, mesures de diamètres.
» Planètes. — Observations de conjonctions, d'oppositions; passages méridiens, hauteurs méridiennes, distances aux étoiles ou à d'autres planètes, passages sur le Soleil.
» Étoiles. — Observations de l'éclat des étoiles nouvelles, des étoiles variables.
» Satellites. — Observations d'éclipsés des satellites de Jupiter (à partir de i653).
» Comètes. — Pingre se borne généralement à renvoyer à sa Cométo graphie.
» Faits (relatifs à l'Astronomie). — Mention rapide des découvertes importantes de l'année, des publications d'Ouvrages avant exercé une grande influence. Mort d'astronomes célèbres, avec de courtes Notices sur leurs travaux.
» La partie qui n'a jamais été imprimée forriie un manuscrit d'environ
d'un Rapport approbalif de Cassini de Thury et de Le Monnier, Commissaires nommés par l'Académie des Sciences pour l'examen de ce projet.
( 7i4 ) 200 pages, appartenant à l'Observatoire de Paris. Quant à l'exemplaire de la partie imprimée (364 pages in-4°), il est entre les mains d'un savant bibliophile, M. V. Advielle, qui se propose de le joindre aux nombreux manuscrits donnés par lui à la bibliothèque de la ville d'Arras.
» L'Ouvrage étant aujourd'hui reconstitué en entier, à l'état d'exemplaire unique, on doit se demander s'il n'y aurait pas lieu de l'imprimer. Voici quelques raisons qui paraissent de nature à montrer l'utilité de cette publication :
» i" L'autorité de l'auteur dans ce genre de travaux. Non seulement il a réuni les observations, mais il les a souvent calculées; cela est aujourd'hui d'autant plus important que nous ne sommes pas familiarisés avec les méthodes d'observation du xvii*' siècle.
» 2° L'avantage de trouver classées, suivant l'ordre chronologique, des observations empruntées, les unes à de nombreux manuscrits dans lesquels on a beaucoup de peine à se reconnaître, les autres à un grand nombre d'Ouvrages, brochures, journaux, simples feuilles volantes même, qu'il serait impossible de rassembler maintenant. Pingre apporte d'ailleurs des corrections aux sources qu'il a consultées.
» 3° L'Ouvrage de Pingre contient les observations généralement inédites de Bouillau, de Seidleau (dont l'original est peut-être perdu), de Chazelles, etc. Jusqu'à 1700 il complète, pour les observations de La Hire, V Histoire céleste publiée par Le Monnier; pour Cassini I, il compléterait les Mémoires de l' Académie, etc.
» 4° Les éclipses de Soleil et les occultations d'étoiles observées au XVII* siècle sont encore de la plus haute importance pour l'étude du mouvement de la Lune, comme le montrent les travaux de M. Newcomb ('). Aussi ce savant s'eit-il livré, pour réunir ces observations, à de longues recherches que l'Ouvrage de Pingre aurait bien facilitées. Pour la période considérée, ces observations sont d'ailleurs plus nombreuses dans Pingre que dans le Mémoire cité de M. Newcomb. »
(') Researches on tlic Motion of the Moon; Washington Observations, 1875, App. II.
CORRESPONDANCE
M. le Prêsidext présente à rAcadémie une IVole imprimée du P. Krùger (Nieuw Archief voor Wiskunde, Tweede Réels, Derde Deel) « Sur l'ellipsoïde de Jacobi » .
« L'auteur a récemment repris l'étude de cette question dans sa thèse de docteur à l'Université de Leyde, en lui appliquant les méthodes les plus récentes de la théorie des fonctions elliptiques. Il confirme et développe d'une façon remarquable les résultats obtenus, dès 1849. par feu Ed. Roche, Correspondant de l'Institut, professeur à la Faculté de Montpellier (^Mémoires de V Académie des Sciences et Lettres de cette ville), et, dans la bibliographie très complète qu'il donne de ce problème, il fait ressortir une fois de plus combien il est regrettable de voir, faute d'une publicité suffisante, plusieurs savants consumer d'inutiles efforts pour aboutir plus ou moins exactement à des conclusions déjà acquises. C'est
ainsi que la distance minimum 2,44 ^\/ z f^'un satellite de densité p à sa
planète de densité 0 et de rayon R, obtenue par Ed. Roche il v a près de cinquante ans, a été donnée comme nouvelle par M. Schwarzschild, flans la thèse (Munich, i8g6) où il applique aux figures ellipsoïdales d'équilibre les méthodes indiquées par M. Poincaré pour généraliser le problème. »
ANAXYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la détermination du groupe de rationalité des équations différentielles linéaires du quatrième ordre. Note de M. F. Marotte, présentée par M. Emile Picard.
« On sait que M. Picard a défini, pour toute équation différentielle linéaire homogène, un groupe de transformations linéaires homogènes, qui jouit de propriétés analogues à celles du groupe de Galois d'une équation algébrique. Dans sa thèse, M. Vessiot a montré que ce groupe, que nous nommerons groupe de rationalité de l'équation linéaire, joue un rôle essentiel dans le problème d'intégration.
» La détermination effective du groupe de rationalité constitue donc un progrès iuîportant dans l'étude d'une équation linéaire. Je me propose d'in-
diquer un procédé très simple pour faire cette détermination dans le cas des équations du deuxième, du troisième et du quatrième ordre ; j'exposerai seulement ici les résultats concernant les équations du quatrième ordre, ce qui donnera en même temps une énumération complète des cas de réduction que présentent ces équations.
» La méthode employée est d'ailleurs susceptible de s'étendre aux équations d'ordre supérieur.
» 1. Il existe un très grand nombre de groupes linéaires homogènes à quatre variables, mais nous allons les ranger dans un petit nombre de catégories que nous caractériserons simplement.
)) Soit un groupe continu g dont les équations sont
Y,- = a,-y, + èy y. + c, y., + f/,r, {i — \ , i, 3, \ ),
etsupposons que j^, 'J'2» Js' J* soient les coordonnées homogènes d'un point de l'espace à trois dimensions. Les substitutions du groupe ^effectuent sur les points de l'espace des transformations projectives formant un groupe continu y-
» M. Lie a montré que les hypothèses suivantes sont seules à envisager ; A, y est le groupe projectif général de l'espace à trois dimensions; sinon il laisse invariable l'une au moins des figures suivantes : B, un plan; C, une droite; D, un point; E, une surface du second degré non dégénérée; F, un complexe linéaire; G, une cubique gauche.
» Nous partagerons les groupes conlinus linéaires homogènes à quatre variables en sept catégories A, B, C, D, E, F, G, suivant la figure géométrique que le groupe projectif correspondant ^^ laisse invariable. Un môme groupe peut d'ailleurs appartenir à plusieurs catégories différentes.
» Nous allons caractériser les groupes de chaque catégorie par un invariant différentiel spécial.
» A. Les seuls groupes conlinus de cette catégorie sont les groupes linéaires homogènes général et spécial. Ils sont caractérisés par ce fait qu'ils n'admettent aucun des invariants différentiels appartenant aux catégories suivantes.
» Pour les autres catégories, les invariants caractéristiques sont respectivement les dérivées logarithmiques des fonctions suivantes :
I y, yl yl !
G. <o et -^^O'. Vj— .'■■^.'''s)"— KjI — Jt J.i)(j3 — J.: v,V
M 2. Le groupe de rationalité d'une équation linéaire du quatrième ordre ou tout au moins son plus grand sous-groupe continu appartient à Tune des sept catégories que nous venons d'énumérer. Les équations du quatrième ordre se partagent donc en sept catégories suivant la nature de leur groupe de rationalité.
a Pour décider à quelle catégorie appartient une équation linéaire donnée, il faut rechercher si les invariants donnés plus haut sont rationnels ou algébriques quand on remplace y,, Vo.Vj.r, par un système fondamental d'intéç^rales de l'équation donnée.
» Mais les quantités u, v, w, 0, co, n vérifient des équations linéaires à coefficients rationnels qu'il est aisé de former et l'on sait reconnaître si ces équations ont des intégrales dont la dérivée logarithmique est rationnelle ou algébrique (voir Painlevé, Comptes rendus, 1 887-1 888).
» On peut donc toujours, par un nombre fini d'opérations, reconnaître à quelle catégorie appartient une équation linéaire donnée. Le problème de la détermination du groupe de rationalité est donc circonscrit et l'on en poursuivra la résolution par des procédés analogues.
» Faisons encore remarquer que les catégories que nous avons obtenues embrassent tous les cas de réduction des équations linéaires du quatrième ordre.
» 3. Vax monXxè {Comptes rendus, novembre 1896) qu'à tout point singulier d'une équation linéaire était attaché un groupe de transformations linéaires dont les invariants sont méromorphes au voisinage du point singulier.
» Les groupes de méromorpliie des équations du quatrième ordre appartiennent à l'une des catégories établies plus haut; il y a donc sept catégories de points singuliers.
» Pour décider à quelle catégorie appartient une singularité, il laut rechercher si les invariants caractéristiques que nous avons donnés sont méromorphes ou algébriques dans le domaine de la singularité. Xous avons
( 7>8 ) donc à reconnaître si les équations linéaires que vérifient les facteurs u, v, w, 9, w, (7 ont des intégrales dont la dérivée logarithmique est méromorphe on algébrique autour d'un point singulier.
» Les méthodes de M. H. von Koch {Acta mathematica, t. XVIII) permettent de résoudre ce problème. On est ainsi conduit aux résultats suivants :
» On peut former, par des opérations arithmétiques, des fonctions transcendantes entières des coefficients de l'équation donnée, qui, égalées à zéro, expriment les conditions nécessaires et suff santés pour quun point singulier soit d'une catégorie déterminée.
» On peut aussi trouver des relations algébriques entre les coefficients de l'équation différentielle, qui, égalées à zéro, donnent des conditions suffisantes, mais non nécessaires, pour qu'un point singulier soit d'une catégorie déterminée.
)) On peut enfin trouver des fonctions algébriques des coefficients de l'équation différentielle qui permettent d'affirmer qu'un point singulier n'est pas d'une catégorie déterminée, dans le cas où leur valeur est supérieure à un nombre donné s. »
GÉOMÉTRIE. — Sur les congruences conjuguées aux réseaux C. Note de M. C GuicHARD, présentée par M. Darboux.
« Soit M un point qui décrit un réseau C, R une congruence conjuguée au réseau C, [j. un point deR qui décrit un réseau. Les plans tangents en M et en ^i. se coupent suivant une droite RS qui décrit une congruence harmonique aux réseaux M et [j.. La congruence RS, étant harmonique à un réseau C, sera O, 2O ou 30 ; par conséquent le réseau u. sera C, 2C ou3C, donc :
» Les réseaux conjugués à une congruence R sont C, 2C om 3C.
» Il reste à montrer comment se répartissent ces divers réseaux. Pour cela, considérons un déterminant orthogonal à cinq lignes. (Voir mon Mémoire qui doit paraître très prochainement dans les Annales de l'École normale.')
( 7'9 ) où les éléments satisfont aux relations
dv, V àZi
(J« ~" du
dn f dz, -dV =f'" 'd. =
kr.
du
- e>', — g'i — "ili'
'- = nr,i
àr., du
7J7 =-bXi~fyi-
- Az
',■ — nlj
avec les conditions de
compatibilité
= bm, -V- = fni,
di- -^
1 du
df = an. -~ = en, du
dk
1 dm à" 1 /■ i
\ dl- du •' °
1) Déterminons ensuite un point JM(X,, ...,^-^) de l'espace à cinq dimensions qui décrit un réseau O correspondant au déterminant A. On aura
avec les conditions
, , , dh , dl r
» Si nous prenons, dans l'espace à cinq dimensions, un point
N'( Y. ,...,¥,) dont les coordonnées sont
on aura, en différentiant,
dZ
du
dZ, ' du
dZ, • ' du
ds-
- ^' di-
dZ,
"'' du
-h li{h-¥- «Z| -f- eZo-h^Zj^
Si, donc, on établit entre Z,, Zo, Z., les relations
i A ^ aZ, -f- eZo-l-^Z., =: o, ( / -4-/>Z, ^/Z, + X-Z, ^o,
