VY

' .. ^V; - (lY; + </Y; -i- ^Y^ = dA; -^ dZ:

» Appelons N le point de l'espace à trois dimensions qui a pour coordonnées Z,, Zo, Z3. Si u et V sont fixes, le point N décrit une droite D dont les équations sont les équations (6). Cette droite D décrit donc une congruence (D) dont les deux plans focaux sont représentés par les équations (6) à cause des conditions (8) et (4). Au point Non fait correspondre dans l'espace à cinq dimensions le point N', à la droite D une droite D', à la congruence (D) une congruence (D'). Les points correspondants N et N' décrivent des surfaces applicables. D'ailleurs, de toutes les formules qui précèdent on déduit

v9) dad^-'^'^' dud'.- ^' dudv^ ^' dudv'

Donc les réseaux conjugués se correspondent sur les congruences (D) et (D'). Ces congruences (D) et (D) seront appelées des congruences applicables. Coupons la congruence D' par le plan

Yi + \l — I Y5 = const.

» Le point d'intersection N' décrira un réseau; on aura ici

dY\ + ^Y;; + dY] ^ dZ\ -f- d'L'^ -^ dA;.

Donc le point correspondant N décrit un réseau C. La congruence (D) est donc une congruence K. Je démontrerai, dans la deuxième partie de mon Mémoire, qu'inversement toute congruence K est applicable sur une congruence K' de l'espace à cinq dimensions. Ce qui précède met immédiatement en évidence les résultats suivants :

» Les reseaux C d'une congruence Iv corresponilcnt aux points d' intersection de K.' avec les plans

PyY y -f- /j^ Yo +. . . -r p-^Y ^ = const. , p'^ "Pi +• ■ ■ -^ pi = o.

I) Les réseaux 2 C correspondent auv points d'intersection de K. avec

II' plan

p,Y, + . . . -t- /^s Yj = coiist. , p-, 4- p; -^... + p't $ o.

1) Les autres reseaux sont des réseaux 3 C en général.

» Dans une prochaine Note, je chercherai dans quel cas une coneruence R est en même temps une congruençe O ; en outre, j'étudierai les congruences R qui sont de plusieurs manières applicables sur des congruences R'. «

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les im'anants des équations linéaires aux dérii'ées partielles à deux variables indépendantes. Note de M. J. Le Roux, présentée par M. Darboux.

« De même que les équations du second ordre, les équations d'ordre supérieur admettent, dans certains cas, des intégrales particulières, s'exprimant à l'aide d'une fonction arbitraire d'une variable caractéristique, et des dérivées de cette fonction en nombre limité.

)) Ces intégrales peuvent être déterminées par une suite de transformations analogues à celle de Laplace. ^Mais, tandis que, pour les équations du second ordre, la transformée est également du second ordre, dans les équations d'ordre supérieur l'ordre augmente en général à chaque transformation.

M Par exemple, si Fou part d'une équation d'ordre n pour laquelle la variable x est caractéristique simple, on en déduira une équation d'ordre n + n—1 admettant .r comme variable caractéristique d'ordre n — i. Parmi les multiples transformations auxquelles on pourrait assujettir celle-ci, il v en a une qui est plus particulièrement liée à l'équation primitive et qui conduit à une seconde transformée d'ordre /j -f- 2(n — 2 i, admettant X comme caractéristique multiple d'ordre i 4- 2(« — 2 ).

» En général, l'ordre de l'équation transformée et l'ordre de multiplicité de la caractéristique .r augmentent de n - 2 à chaque opération; mais, dans certains cas particuliers, l'augmentation peut être moindre; il peut même arriver que l'équation proposée et les transformées soient indéfiniment du même ordre. Les principales propriétés de l'équation relativement à la transformation considérée se reflètent dans une suite d invariants analogues à ceux qui ont été introduits par M. Darboux pour le second ordre.

» Considérons une é. [nation d'ordre n admettant x comme variable caractéristique simple

On a A„,„ = o et A„, , ^- o. Nous supposerons ce dernier coefficient égal à l'unité.

» Le mullinlicateur différentiel de -; ^ est éçal à

Nous sommes conduits à généraliser la transformation de Laplace en posant

» Effectuons d'abord la transformation suivante :

Nous obtiendrons une nouvelle érpiation pour laquelle la transformation de Laplace sera définie par

àf

» Dans l'équation en u, les termes qui contiennent un symbole de dérivation par rapport à y s'expriment immédiatement à l'aide de //, et de ses dérivées. Il ne restera d'irréductible que les termes qui contiennent u, ou ses dérivées par rajiport à .r. En les faisant passer dans le second membre, nous pourrons donc écrire l'équation sous la forme

A (a,) étant une expression différentielle contenant les dérivées de «, jus-

qu'à l'ordre « — i et dans latiuelle le coefficient de -; r est égal à n. Je

suppose >^o 7^- '^ laissant de côté les cas où la clialne des 1 serait raccourcie

ou rompue. Formons les expressions

(5) hp =

dy dy ôy

dPl„ ài'l, dPlp ijyi- ôyp ôyp

» Elles jouissent de la propriélé suivante :

» Quand on effectue un changement de fonction et de variables indépendantes

z=^kz\ X =^ o(x'), y =^'^{x' , y ),

qui conserve à la fois la forme linéaire de l'équation et les caractéristiques a? = const., le déterminant hp se reproduit multiplié par la puissance

— '-^ du determmant fonctionnel 'T—i'^,•

2 ax Oy

)) L'équation en //, sera, en général, comme nous l'avons déjà dit,

d'ordre n -h {n — 2 ). On la transformera, en posant

ôy \/c

et l'on trouvera une nouvelle suite de n — i invariants.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un problème de Riemann. ^ote de M. LcDwiG ScHLESi.vGER, présentée par M. Poincaré.

K Dans son Mémoire |iostliume Zwei allgemeine Sâtze ûber linedre Differentialgleichungen, Riemann pose un problème que l'on peut énoncer de la manière suivante :

» Étant donnés, dans le plan de la variable x, les r: + i points a, , .... a^, a^^,, traçons des coupures /,,..., 4 joignant les points a, , . . ., a^ au point Oa+i ; on demande n fonctions y, , Vo, . . . , r„ (le x, qui se comportent régu/iérement pour toutes les valeurs de x, excepté les points ua, qui subissent les substitutions linéaires données arbitrairement Af, A,, ..., Aa, quand x franchit

les coupures l,, l, Ir, et qui. aux points a/,, ne deviennent pas infinis d'un

oidre infiniment grand.

» Si je ne me trompe, on n'a pas encore remarqué que la résolution du problème mentionné (dont Riemann ne démontre même pas la possibilité^ puisse être donnée à l'aide des mêmes principes qui ont permis à M. Poincaré d'intégrer cbaque équation différentielle linéaire par les fonctions X, fuchsiennes, au moins dans le cas où toutes les racines des équations fondamentales relatives aux substitutions données A, A, et à la substitution A^+, = A7' . . . A^' ont pour module l'unité. C'est ce que nous allons démontrer.

M Si, pour l'une des substitutions Aa, les racines de l'équation fondamentale correspondante sont des racines de l'unité, et si, de plus, la forme canonique de A^ ne contient que des termes diagonaux, nous désignons par gi, le nombre entier le plus petit, pour lequel toutes ces racines satisfont à l'équation oj^« = i . Si, pour une substitution A^, ces deux conditions ne sont pas satisfaites à la fois, le nombre correspondant g^ sera pris infini. Les A;^, pour lesquels le nombre g^ est fini, vont satisfaire à l'équation A|"'= i. Avec les points a,, ûj, ..., a^+i et les nombres g,, g,

g„+^ , on peut former une équation

normale (voir Poincaré, ActaMathem., t. IV, p. 223) admettant les points a^ comme points singuliers, et les valeurs réciproques des g^ comme différences des racines des équations déterminantes correspondantes. Si le type déterminé par ( i) est un type fuchsien, il résulte du tbéorème fondamental de M. Poincaré que ce type contient toujours une équation fuchsienne. Sans avoir recours au théorème de M. Poincaré dans toute sa généralité, par exemple en s'appuyant seulement au cas spécial de ce théorème que j'ai démontré, par une voie différente de celle de M. Poincaré, au Tome 105 du Journal de CreUe, on peut dire (voir le § Il du Mémoire cité de M. Poincaré) qu'il est possible de trouver une équation fuchsienne

appartenant à un tyj)e subordonné au type (i) et admettant comme points singuliers, outre les points donnés Oi,, encore certains points non donnés. Soit / le groupe des substitutions homogènes et unimodulaires, qu'un système fondamental «,, u., de (:i) subit, si x décrit tous les chemins fermés possibles, il est évident que le groupe 0 formé des substitutions A, ,..., Aff^.,

comme substitutions fondamentales sera isomorphe au groupe /. Si le groupe fuchsien projectif, correspondant au groupe /, appartient à la deuxième ou à la sixième famille, les substitutions de 0 correspondant aux substitutions paraboliques de ce groupe fuchsien seront telles, que les racines de leurs équations fondamentales ont pour modules l'unité.

» Le même subsiste pour le groupe 0 unimodulaire et isomorphe à 9. Désignons donc par s., les substitutions de t et par S.^ les substitutions correspondantes du groupe 0, les séries

Z;t(»l, //..) = ^S,7'ç^-(j'vW,, ^v"-"* (^-^ 1,2, ...,«),

les o*.(«|, II.,) étant n fonctions rationnelles et homogènes du degré ( - 2/») de u,, 11-2, seront absolument convergentes (voir Poincark, Acla Mathem., t. V, p. 23i, 207 et suiv.) à l'intérieur du cercle fondamental, pourvu que le nombre entier positif /« soit suffisamment grand. Les fonctions Z^^ de .r ont, pour seuls points de ramification, les a^, et elle subissent la substitution A>( (lu groupe 0 correspondant à la substitution kf; de 0 si .1^ franchit la coupure 4; elles ont, de plus, encore des points singuliers b , A

différents des a^, mais ce ne sont que de simples pôles. En multipliant donc les Z^ par une expression de la forme

( a' — «,)'■. . .{X — rt^y''(a.- — 6, )"'. . .(x — b^y-' ,

on pourra passer à un système de fonctions j,, . . ., y,, satisfaisant au problème de Riemann. »

MÉCANIQUE CÉLESTE. — Sur certaines intégrales premières des équalions de la Dynamique à deux variables; application à un cas particulier du problème des trois corps. >fote de MM. J. Perchot et W. Ebert, présentée par M. Poincaré.

« Nous considérons les deux équations

et nous supposons que X et Y sont des fonctions homogènes de degré 2, en ,r et v. En posant

( 72<^ ) nous avons

» Soit <î> une inlégrale première ne contenant pas le temps et développable, dans un certain domaine, suivant les puissances décroissantes des

vitesses a;' = ^ et/ = ^- Désignons par A\, <!>,, 'K. ... les différents groupes homogènes en x' , y' qui composent a': <l>o étant Tensemble des termes de plus haut degré, p. On a

const. = <I> r:z: $„ ■+• <î', + l». + . . . = -•!',■, d'oii l'identité

» l.es termes de <!' qui sont de degré m en oc', y' introduisent dans celte identité des termes de degrés m — i el m + i par rapport à ces mêmes quantités; les premiers proviennent des dérivées par rapport aux vitesses, et les seconds des dérivées par rapport aux coordonnées. Il en résulte que <!>, est du degré p — 2 en x' , y' et, en général, que <I>, est du degré p^ii.

1) La transformation

■"" ~ v ' ^ ~ v'^

ne mo<lirie pas les équations (i); elle introduit donc dans tous les termes de l'intégrale $, supposée indécomposable, une même puissance de \.

» Les <î', sont homogènes par rapport aux vitesses et leurs degrés décroissent de deux unités; ils doivent donc être encore homogènes par rapport aux coordonnées et leurs degrés, en x, y, doivent décroître d'une unité.

» En désignant par/j et q les degrés de (p„ par rapport aux vitesses et

aux coordonnées, par & le rapport ^j nous avons

$. = £c''P-='.r'''-'r,(£,j); les F, représentent des fonctions cpielcoiupies de s et &.

( 727 ) )) Nous posons

L'intégrale $ devient ainsi

const. = x'Px''{^ j)7 G„(3. 2r) + x'P-^xf-' (& - s)?-' G, (e, S) + . . ..

» Les termes de degrép + i en x' , y', dans l'identité (2), proviennent nniquement des dérivées de $0 par rapport aux coordonnées ; il en résulte que

G„ ne contenant que S-, l'ensemble des termes du plus haut degré, par rapport aux vitesses, dans l'intégrale considérée, est de la forme

x'P-''{xy-yx')''Gl~).

» En égalant à zéro les ternies de l'identité (2), qui sont du degré ^ — i enx',y, on trouve

o=pG,C^) o (s) ^ [KO - .^?(01 ['-^ ^ièi]-^"^-

Cette équation permet de déduire G, de G^ par une quadrature. )) On a, de même, entre G, et G,^,, la relation

» Connaissant le premier terme dune intégrale de la forme considérée, on peut donc, par des quadratures successives, déterminer tous les autres. En supposant que (p,, soit un polvnome en x', y', on serait déjà conduit, en général, pour $,, à une expression transcendante.

» Le problème des trois corps, dans le cas où les points se déplacent sur une droite fixe, conduit à un système de deux équations de la forme considérée. Nous nous proposons de donner, pour ces équations, la forme de $,.

» Soient m,, m.-,, m, les masses des trois corps A, B, C.

» En posant