HO
Id.
i;474oBD+.9
i5: fo
c 4596 BDh-2I
H-i.io,9
Id.
rf46ooBD-+-2i
Id.
c 4596BD + 21
Id.
rf46ooBD + 2i
Id.
Positions des étoiles de comparaison.
Asc. droite
Réduction
Déclinaison
Réduction
Dates
moyenne
au
moyenne
au
Etoiles.
jour.
jour.
Autorités.
Mars 21. . .
A.G.Berlin 8763
A.G.Berlin 8802
A.G.Berlin 8336
A.G.Berlin 8344
Positions apparentes de la comète.
Dates
Mars 21.
Temps
moyen
de Paris.
Ascension
droite
apparente.
Il m s
Log. fact.
parallaxe.
Déclinaison apparente.
Log. fact.
parallaxe.
Remarque. — 1898 mars 21. — La comète a un nojau fortement stellaire, dont
l'éclat est comparable à celui d'une étoile de grandeur 6-7, avec une queue faible et sensiblement opposée au Soleil.
ASTRONOMIE. — Obsen^ation de la comète Perrine (iSgS, mars ig), faite au grarid équatorial de l'obsenatoire de Bordeaux; par M. L. Picart, présentée par M. Lœw y.
Comète Perrinf. (189S, mabs 19).
Comète. — Étoile.
Date
Mars 22
Temps sidéral
de
Bordeaux.
Ascension droito.
Distance polaire.
Position moyenne de l''étoile de comparaison pour 1898,0.
Catalogue et autorité.
A.G.Z. Berlin n" 8802
Ascension
droite moyenne.
Réduction Distance
au polaire
jour. moyenne.
Date
isas.
Mars 22 .
Position apparente de la comète Perrine (1898, mars t9).
Temps moyen Ascension Distance
de droite Log. fact. polaire
Bordeaux. apparente. parallaxe. apparente.
Log. fact.
parallaxe.
» La comète est ronde, a un diamètre d'environ 4 . mi novati très net de ■7-8* grandeur, légèrement excentrique. »
ASTRONOMIE. — Observations de la comète Perrine (1898, mars ig), faites à l'observatoire de Toulouse (^équatorial Brunner). Noie de M. F. Rossard, présentée par M. Lœwy.
Comète. — Ktoile.
Dates
Kloiles
de
compar.
Mars 25 a 4465BD 6,5
» 25 b 4472BD 5,0
Nombre
Ascension de
droite. Déclinaison. comparaisons.
h-o.24,ll +12.1 5,0 20:18
Positions des étoiles de comparaison.
Asc. droite Réduction Déclinaison Réduction
Dates mojennc au moyenne au
1S98. * 1898,0. jour. 1898,0. jour.
,, ~ „ 2 c c . 3 , ' ' -c ■y -■ o i (Bruxelles, 066.3 -h Romberg , 4qoo
Mars20. a 21.39.16,96 -i-0,37 +22.20.06,3 — o,8 '^ „ ,. '„,,,, ° ^
-+- Berlin B, 0364).
'[Bruxelles, 9689 -h Romberg, 4969
-r Berlin B, 8385 4- Glasgow (1890)
Positions apparentes de la comète.
Temps Ascension
Dates moyen droite Log. fact. Déclinaison Log. fact.
1898. de Toulouse. apparente. parallaxe. apparente. parallaxe.
h ms hms ...
Mars25.... i5. 53.14 21.39.41,44 i,662„ -i-22.33.5,5 0,723
» La queue de la comète s'étend à quinze minutes environ de distance. »
ASTRONOMIE. — Éléments de la comète Perrine. Note de M. I. Lagarde, présentée par M. Lœwy.
« Les éléments qui suivent ont été déduits des observations faites à l'observatoire du mont Hamilton le 19 mars, et à l'Observatoire de Paris, par M. Fayet, le 22 et le 24 mars. J'ai fait tous mes calculs avec cinq décimales et j'ai négligé les effets de la parallaxe et de l'aberration :
Temps du passage au périhélie : 1898 mars i6,56i6 temp's moyen de Paris
LoDgilude du périhélie 308.54,4 I
Longitudedu nœud ascendant. 262.14,4 > Equinoxe et écliptique moyens de 1898,0
Inclinaison 72.19,1 j
Logarithme de la distance du
périhélie 0,03972
M Représentation de l'observation du 22 mars :
cos^c?). ^ -^ o',i, (/3 ^ — o', 1 . «
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Théorème fondamental sur les transformations hirationnelles à coefficients entiers. Noie de M. S. Kantor, présentée par M. E. Picard.
« Tandis que la théorie des substitutions linéaires à coefficients entiers naturels ou à coefficients entiers algébriques a, grâce aux travaux de MM. Picard et Poincaré ('), acquis déjà une étendue considérable et empiète sur des branches différentes de l'Analyse, la théorie des substitutions de degré sujiérieur et à coefficients entiers est à peine effleurée. Un cas de substitutions quadratiques a été seulement rencontré par M. Picard (-) dans ses recherches fondamentales sur les groupes hyperabéliens. Cela tient à ce que, dans la théorie des formes arithmétiques de degré supérieur à deux ou d'un nombre de variables plus élevé que trois, on connaît' seulement les résultats anciens de M. Hermite (^), les recherches de M. Poincaré sur les formes cubiques ternaires et quaternaires ('), et un théorème de MM. Hilbert etHurwilzsur les formes arithmétiques ternaires du genre zéro (^).
)) Si dans les formules de transformation
les <I> étant des fonctions entières rationnelles des variables homogènes x, les coefficients de ces fonctions (I> sont des nombres entiers, pour le moment naturels, j'appelle la transformation (i) \ine transformation arithmélique. Parmi les transformations (i) il y en a dont les inverses sont rationnelles encore. Cela exige que les coefficients des fonctions <î> qui interviennent dans l'inverse
(2) x^\...:xr^, = ^\{x)\...:<^'^^Xx')
soient des nombres rationnels ou, en se servant d'un facteur de proportionnalité, des nombres entiers. Alors (i) est une transformation birationnelle arithmétique.
(') Le même sujet a fait aussi l'objet des recherches de M. L. Bianchi.
(^) \o\r Journal de Lioavillc, i885.
(') Journal de Crelle, Vol. 42 et 47.
(') Journal de fEcole Polyt., Cal). L et LI.
(5) Acla Math., Vol, XIV."
» Or, on sait que les transformations binttionnelles du domaine ternaire peuvent être décomposées en des transformations élémentaires de même espèce et précisément, d'après ^'otlier, quadratiques. Pour les transformations birationnelles arithmétiques le théorème de ^'ôlher fait dpfaut('). En effet, parmi ces transformations, il y en a où les coordonnées des points fondamentaux à multiplicité égale sont données simultanément par des équations à coefficients entiers, à savoir quand ils sont points d'intersection résiduels de deux courbes à coefficients entiers. Dans chaque pareil cas les transformations quadratiques de Xôther ne peuvent pas s'appliquer ni être obtenues, sans qu'on décompose des polynômes à coefficients entiers en facteurs. Alors des irrationnalités nouvelles s'introduisent et les transformations quadratiques n'ont plus leurs coefficients entiers dans le domaine proposé ou dans le domaine naturel.
» Toutefois je peux démontrer qu'aussi dans ce cas les transformations admettent la décomposition en facteurs arithmétiques typiques d'une nature prédéterminée. Il semble important que le nombre des classes, entre lesquelles les facteurs typiques des transformations birationnelles arithmétiques sont à choisir, reste encore fini. Le théorème de Nôther doit donc être remplacé par un théorème de décomposition plus compliqué. Voici ce que j'ai trouvé :
« Théorème. — Chaque transformation birationnelle arithmétique à trois variables homogènes peut être composée au moyen de facteurs primaires arithrnètiques d'un des types suivants :
» 1° Transformations de l'ordre n à point multiple d'ordre {n — i), où tous les points fondamentaux simples forment un seul groupe rationnel (");
» 2° Transformations de l'ordre n à point multiple d'or Ire (n~ i), où tous les points fondamentaux simples sauf un forment un seul groupe rationnel;
(') De même le théorème de Nôther n'existe plus, si l'on veut décomposer une transformation birationnelle algébrique, sans introduire de nouvelles irrationnalités par rapport au domaine d'irrationnalilé qui est formé par les coefficients des O. Le théorème qui suit dans le texte s'applique sans altération. On peut donc énoncer : Toute transformation birationnelle peut être décomposée en les facteurs primaires du théorème fondamental, sans introduire aucune irrationnalité nouvelle.
( = ) Je dis que m points forment un groupe rationnel, si leurs coordonnées sont fournies par une équation à coefficients qui sont rationnels dans le domaine de rationnalilé proposé et dont le polynôme n'est pas décomposable en des facteurs rationnels dans ce domaine. Dans le cas actuel le domaine de ralionnalité est celui des nombres entiers naturels et les coefficients doivent être des nombres rationnels. C B., 1898, 1" Seneslre. (T. CXXVl, N° 13.) 122
)■ 3" Transformations de l'ordre n à quai re points multiples d'ordre
et points doubles, où les uns et les autres forment un seul groupe rationnel, ou bien
» 4° Oh les quatre premiers se séparent en deux couples rationnels;
M 5" Transformations quadratiques, dont les trois points fondamentaux forment un seul groupe rationnel ;
» 6° Transformations de l'ordre 5 rt 6 points doubles qui forment un seul groupe rationnel;
» 7° Transformations de l'ordre 8 à 7 points doubles qui forment un seul groupe rationnel, ou bien
» S° Où les 7 points se séparent en un couple rationnel et un quintuplet rationnel;
» 9° Transformations de l'ordre i3 à 2 points sextuples et G points quadruples les uns et les autres formant un groupe rationnel, -ou bien
» 10° Où les six derniers se séparent en deux triplets rationnels ;
» 11° Transformations de l'ordre 16 à 5 points sextuples et 3 points quintuples les uns et les autres formant un groupe rationnel;
» 12° Transformations de l'ordre 17 à 8 points sextuples qui forment un seul groupe rationnel;
» i3° Transformations de l'ordre aS à 2 points 12-luples. 3 octuples et 4 sextuples chaque fois d'un seul groupe rationnel ;
» 14" Transformations de l'ordre 29 à 2 points i'\-tuples. 7 octuples et les uns et les autres formant un seul groupe rationnel;
M 1 5° Transformations de l'ordre 4 1 à 5 points 1 6-tuples, 4 décaluples qui forment respectivement un seul groupe rationnel;
» 16° Transformations de l'ordre 61 à 2 points -zo-tuples, 3 points 10-tuples et 4 points I i-tuples ne formant que trois groupes rationnels.
» Bans ce théorème les fadeurs primaires sont déterminés par espèce, par ordre et par la position mutuelle des points fondamentaux.
» D'autre part, les transformations birationnelles arithmétiques sont (lécomposables, elles aussi, en rJes facteurs quadratiques. Mais cette décomposition comporte des irrationnalités. Le théorème fondamental que nous avons découvert permet donc de préciser quelles sont les irrationnalités qui s'introduisent dans cette décomposition ancienne. Les coordonnées des points fondamentaux seront généralement des racines de polynômes d'un certain ordre et l'on remartjue que l'ordre ne surpasse le nombre 8 que dans les types des espèces 1", 2°, 3° et 4°.
» Les coefficients qui s'introduisent sont donc des nombres entiers algébriques d'un certain corps de Dedekind ('); donc :
» Théorème. — Pour décomposer une transformation hirationnelle arithmétique ternaire en des transformations quadratiques, il ne faut adjoindre au domaine de rationnalilè que des nombres entiers algébriques de corps des ordres 2 jusqu'à 8, excepté seulement pour les transformations qui contiennent des facteurs primaires de Jonquiéres (^en comprenant par ce nom les espèces i", 2", 3° et 4°) et qui peuvent exiger des corps d'un degré quelconque.
» Il ne reste donc qu'à rechercher les transformations primaires des espèces i*^ à 16° qui ont les coefficients entiers. «
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certaines équations fonctionnelles linéaires. Note de M. Lémeray.
« Dans une Communication faite à l'Académie le 27 décembre 1897, j'ai résolu l'équation
où j' est la fonction inconnue de x, dans le cas où les A sont constants. Je rappelle que y''' est l'itérative d'ordre i de la fonction cherchée (on a y(o) __ ^^ jg considère ici le cas où les A sont fonctions de x seul. On peut établir une théorie du plus grand commun diviseur symbolique de plusieurs polvnomes fonctionnels linéaires tels que celui qui constitue le second membre de l'équation (i). Je suis arrivé aux résultats suivants :
» 1° On peut former une équation d'ordre n admettant n solutions données j'i.y. V;,; à l'équation (i) joignons les n équations obtenues en
affectant dans(i) les y, des indices i, 2, ..., «, tour à tour. Soit A le déterminant d'oriire n -t- i des coefficients des A dans les seconds membres; on a
Ao \dj""''J ' \dyi''> M 2" Il existe une équation fonctionnelle linéaire d'ordre n -h p.
(') Bulletin des Sciences mathématiques, de Darbolx et IIoiel, 1877, ou ses Leçons, par Lejelne-Dirichlet.
(-) Je dirai que jes n intégrales sont distinctes si aucun des A n'est indéterminé.
( 95o ) dont les coefficients sont fonctions de x seul, contenant n -+- 1 termes comme l'équation (i) et satisfaite par les n iatégrales distinctes de l'équation (i).
» 3° Division symbolique. — Soient deux polynômes fonctionnels linéaires z et « d'ordres n et p (n >p). Appelons division de z par u l'opération suivante : supposons formés les polynômes fonctionnels J(«), J-(«), . . ., J"--''(a); multiplions -'et J""-''(m) par des fonctions P, Q de x, telles que les premiers termes des polynômes ainsi obtenus deviennent égaux; posons
-:;, =zQy'-P{u)- ?z;
z, sera le premier reste de la division, il est d'ordre n — i au plus; opérons sur s, et sur J"~^^'(m) comme précédemment; nous aurons un nouveau reste Sj, etc.; nous continuerons ainsi jusqu'à ce qu'on obtienne un reste d'ordre égal au plus à ^ — i . Si ce reste est identiquement nul, z est divisible par u, et les intégrales de m = o satisferont toutes à :; = o. Si le reste de la division n'est p:is nul, on divisera n par ce reste, etc.; si le reste de la dernière division se réduit à une fonction de x, les polynômes s et m sont premiers entre eux ; si, au contraire, après un certain nombre de divisions, l'on obtient un reste identiquement nul, le diviseur v de la dernière division sera le plus grand diviseur commun à s et à u, et les solutions distinctes de ç' := o satisferont toutes aux deux équations z = o, u = o.
» Les équations considérées ici doivent être distinguées de celles qu'ont étudiées MM. Grévy, Leau, Bourlet, contrairement à ce que dit M. Bourlet dans sa Communication du 21 février 1898. Il a reconnu lui-même depuis qu'il y avait eu confusion.
» Ma Note du 27 décembre 1897, très concise, n'était peut-être pas suffisamment explicite, ce qui explique, jusqu'à un certain point, la confusion commise. Quant au problème de Babbage auquel il est fait allusion dans la même Note, je n'avais nullement la prétention d'en donner le premier une solution ; car on en trouve une dans le Traité d'Analyse de M. H. Laurent. »
OPTIQUE. — Recherches de précision sur la dispersion infra-rouge du spath d'Islande. Note de M. E. Carvallo, présentée par M. A. Cornu.
« Dans la séance du 7 mars, jai eu l'honneur de commiuiiqucr à l'Académie les résultats de recherches de précision sur le spectre infra-rouge du
( 95i ) quartz, à l'aide d'un spectre cannelé de Fizeau et Foucault. En prenant pour base ce travail, j'ai repris l'étude de la dispersion infra-rouge du spath d'Islande que j'avais déjà faite dans ma thèse ('). Mes nouvelles mesures concordent bien avec les premières; seulement elles sont dix fois plus précises. De plus, les longueurs d'onde des repères sont maintenant empruntées à mon dernier travail sur le quartz, au lieu d'être empruntées à Mouton ; elles se trouvent ainsi corrigées de l'erreur svstématique que j'ai signalée dans les résultats de ce savant (-). Il en résulte un changement notable dans les coefficients de la formule de dispersion qu'il m'a fallu calculer à nouveau. Comme pour le quartz, elle est de la forme
A = dt'* -[- hh- -\- a -^ cl- -\-c' l",
n désignant l'indice de réfraction et / = - le quotient de la longueur d'onde
dans le vide par l'indice. Les valeurs calculées pour les coefficients, à la température de 20°, sont ceux-ci :
Rayon ordinaire n„. Rayon extraordinaire n^.
b — 0,001 oo3 — 0,000 835
c -H o,oo5 i54 -f- 0,001 134
» Voici, en trois Tableaux, le résultat de la comparaison de la formule avec l'observation, pour quelques raies monochromatiques observées avec l'oculaire, puis pour les franges des spectres cannelés obtenus avec les deux lames de quartz utilisées dans ma précédente Note.
Tableau
\. — Ba
ies monoch,
romatiqiies obsi
ervées avec V
oculaire.
Rayon ordinaire
Rayon n, obs.
1 extraordinaire.
Raie.
n^ obs.
n^ cale.
n, cale. 0 — C.
Th..
Na..
(') Anii. de l'Êc. A'orniale, Supplément pour i8go. (') Comptes rendus, t. CXXN'I, p. 72S; 7 mars 1898.
Tableau 11. — Première lame de quartz, épaisseur i" Rayon ordinaire.
1016 (observations au bolomètre).
Rayon extraordinaire.
/!„ obs.
n„ cale.
n^ obs.
/!, cale.
-!-o,ooooo3
,64o5ii
Tai
iLEAl UI. -
Seconde lame de
quai
■Iz,
épaisseur 1""
(observations au
bolomètre).
7„ obs.
Raj
on
ardinaire.
n„ cale. 0-
638482 -t-o,ooooo5
6338ii
Rayon ordinaire.
4 ?• À. n^ obs. n^ cale. O — C.
» Pour les raies monochromatiques, observées à l'oculaire, la concordance est complète entre l'observation et la formule, jusqu'au cinquième chiffre décimal, les différences n'atteignent que le sixième chiffre. Dans les observations au bolomètre, les différences ne dépassent pas deux unités du cinquième cliifîre décimal pour le ravon ordinaire et une unité pour le ravon extraordinaire. De plus, dans la partie commune, les observations au bolomètre concordent très bien avec les observations à l'oculaire. Ces concordances forment un contrôle des mesures.
» J'ai signalé dans ma précédente Note un contrôle plus précieux encore de mes mesures sur le quartz par leur concordance avec une formule calculée par M. Macé de Lépinay pour la biréfringence du quartz, par une méthode très différente de mes mesures d'indices. Ces mesures sur le quartz, jointes à celles que je présente ici sur le spath, trouvent un nouveau contrôle dans des mesures que j'ai faites autrefois sur la dispersion rotatoire du quartz (') et qui ont été confirmées par un travail très soigné de M. Dongier (-) sur le même sujet. Voici en quoi consiste ce contrôle. J'ai donné une formule de dispersion rotatoire qui représente bien les observations dans le spectre visible et dans le spectre ultra-violet. Dans l'infra-rouge, j'avais utilisé le spectre fourni par un prisme de spath que j'avais étudié dans ma thèse à l'aide des lames de quartz de Mouton. Les longueurs d'onde des repères étaient ainsi entachées de l'erreur sjstématique qui résultait de l'emploi des nombres de ce savant. Mon nouveau Travail permet de les corriger; or le fait que je constate est celui-ci :
» Avec les valeurs des longueurs d'onde empruntées à Mouton, j'avais trouvé un écart systématique notable entre la formule et l'observation; il n'existe plus avec les valeurs corrigées des longueurs donde. Les écarts ont maintenant le caractère des erreurs fortuites. »
( ') Annales de Chimie et de Physique, 6' série, t. XXVI; mai il (') Société de Physique, 3 décembre 1897.
PHYSICO-CHIMIE. — Sur la détermination rigoureuse des poids moléculaires des gaz en parlant de leurs densités et de l'écart que celles-ci présentent par rapport à la loi de Manotte. Note de M. Daxiel Beiitiielot, présentée par M. H. BecqXierel.
« Les chimistes admettent en général que tous les gaz simples ou composés, pris sous le même volume, renferment le même nombre de molécules. En d'autres termes les volumes moléculaires de tous les gaz sont égaux et les poids moléculaires sont proportionnels aux poids spécifiques ou densités des gaz.
» Cependant, en fait, les densités théoriques ainsi calculées ne s'accordent qu'imparfaitement avec les densités expérimentales trouvées dans les conditions ordinaires de température et de pression ; ce désaccord tient à ce que la loi précédente ne pourrait être exacte pour diverses températui'es et diverses pressions que si tous les gaz avaient même compressibilité (loi de Mariotte) et même coefficient de dilatation (loi de Gay-Lussac). Or aucune de ces deux lois n'est rigoureuse.
» Dès lors, en fait, les volumes moléculaires des divers gaz observés dans les conditions ordinaires sont inégaux, et le poids moléculaire d'un gaz est proportionnel, non pas à sa densité réelle, mais au produit de cette densité par son volume moléculaire.
» Je me propose d'établir que ces volumes moléculaires peuvent être évalués exactement si l'on connaît la compressibilité des gaz au voisinage de la pression atmosphérique, et que, par suite, les poids moléculaires rigoureux peuvent être déterminés au moyen de deux données physiques connues avec une grande précision : densité et compressibilité.
» Je rappellerai tl'abord que les expériences de Regnaidt montrent que les gaz tendent à obéir tous à une même loi de compressibilité et de dilatation à mesure que la pression diminue; c'est-à-dire que les lois de Mariotte et de Gay-Lussac sont des lois limites, vraies pour des pressions très faibles. Nous sommes donc autorisés à admettre que dans ces conditions de raréfaction extrême les volumes moléculaires de tous les gaz sont rigoureusement égaux. Ceci posé, il ne s'agira plus que de calculer ce que deviennent ces volumes moléculaires sous la pression atmosphérique.
» Je me bornerai aujourd'hui au cas des gaz autrefois d'ils permanents. L'écart de
leur compressibilité par rapport à la loi de Mariotte, à température constante, peut être représenté^au voisinage delà pression atmosphérique par la formule
(•^ '■=~-^ = np-P^)<
Vf, étant le volume d'une masse de gaz sous la pression atmosphérique p„, v son volume sous la pression p, a un coefficient qui d'après les expériences de Regnault est constant entre i^'" et 6^'°". J'admettrai que cette formule réprésente encore la compressibilité du gaz entre o»"" et i""° conformément aux expériences de M. Amagat sur l'air. » Considérons deux gaz sous une pression infiniment faible p\ d'après ce qui précède leurs volumes moléculaires ont une même valeur v. Comprimons-les jusqu'à la pression atmosphérique. Leurs volumes .moléculaires cessent d'être égaux et prennent les valeurs
Fo Po
''o = ^'^[i-^a'(p — p,)]—i' £-{\ -^a'p — a'po), Po Po
dont le rapport, si p est infiniment faible, aura la valeur
Va i — apo ^0 ~ ^~ (t'Po'
qui se réduira à ; si nous évaluons les pressions delà formule (i) en atmosphères
et si Po^= i^"°.
» Les volumes moléculaires des divers gaz prennent donc, sous la pression atmosphériq\ie, avec ce choix particulier d'unités, des valeurs proportionnelles à i — a, i — «', 1 — a" . . . . Soient d, d' , d" , . . . leurs densités sous la pression atmosphérique, à la température considérée. Leurs poids moléculaires sont égaux aux produits des volumes moléculaires par les densités correspondantes, c'est-à-dire proportionnels à
« Nous obtenons ainsi, pour les poids moléculaires, un système de nombres proportionnels. Ce système est défini à une constante près. Pour le fixer entièrement, on sait qu'il faut assigner à l'un de ces nombres une valeur arbitraire. On a l'habitude de rapporter les poids moléculaires, soit à l'hydrogène, en posant H- ^2, soit à l'oxygène, en posant O- ^ 32.
» Nous adopterons cette dernière convention, et nous procéderons au calcul des poids moléculaires, sans autres données que celles de la densité des gaz sous la pression atmosphérique et de leur compressibilité au voisinage de celle-ci.
j> Ces données ont déjà été déterminées avec soin par Regnault; mais on sait qu'au
point de vue expérimental la précision des mesures de ce maître a été dépassée par
certains physiciens modernes. En fait, il est peu de constantes physiques connues
aujourd'hui avec autant d'exactitude que les densités des gaz permanents : rapportées
