C. R., iSi,!S, I" Semestre. (T. C\\\l
( 992 ) absolument conforme à celle tracée par l'art. 195 des Disquisitiones ; elle s'en écarte sur un point, dans deux circonstances dont une au moins se présente toujours dans les questions du genre de celles que j'ai traitées. Cette dérogation, inspirée par les procédés de Lagrange, consiste dans l'admission, parmi les réduites contigués qui forment la période, de réduites avant zéro pour terme moyen; car, en fait, d'après les conditions imposées par lui (n° 183), Gauss les exclut, guidé sans doute par d'autres considérations, dont je n'entends pas me faire juge. Ma méthode est donc, en quelque sorte, une méthode mixte, dont je vais expliquer la part d'innovation qui lui est propre, et légitimer l'emploi tout spécial que j'en fais.
» Les deux circonstances précitées surviennent lorsque la marche du calcul amène au troisième terme d'une des réduites successives (sans égard au signe), soit le troisième terme de la forme proposée (que je suppose avoir zéro pour terme moyen), soit l'unité. Le premier de ces cas se présente dans les deux théorèmes par lesquels débute ma Note du 21 mars, le second dans les cinq problèmes qui y font suite.
» Pour mieux fixer les idées, je vais opéi'er d'abord sur un exemple numérique; je passerai ensuite aux données algébriques, qui donneront la généralité nécessaire à ces premières observations.
)) ChoisissLint cet exemple dans le deuxième cas du théorème I, où le nombre donné est de la forme 4" -t- i, il s'agit de prouver que l'équation (9* — 4)'^' — 4j' = — I est impossible en nombres entiers. Par la méthode mixte, la marche du calcul est la suivante :
Coellicicnts de substitution.
VaJeurs - —
de h.
J\— i-, ", —Il
J\—-ll, II, 17
/io= 77. o, — 4
IJ
( 993 ) » La période se compose de dix réduites. On constate que, dans la cinquième, qui porte l'indice l\, le terme moyen et le troisième terme ont la même valeur numérique ii. On en conclut, sans aller plus loin, que les réduites Aonl, à partir de ce moment, aller en rétrogradant jusqu'à f^, associée de la forme donnée <î*, pour recommencer avecym dans le même ordre, et que, par conséquent, l'équation donnée n'est pas résoluble, aucune réduite terminée par ± i ne s'étant présentée. Les termes x^f,, î5,„ sont égaux entre eux; leur valeur commune 35i est celle de t^•, et y, = i54o, étant divisé par A = 77, donne pour m, la valeur 20; /, et w, sont les moindres valeurs qui satisfont à l'équation t- — 4-77"'' = i- Ou trouve, en efiet, que
3ôi — '3o8.2o = I.
» On voit, d'après cela, que si l'on tient à continuer le calcul jusqu'au bout, afin d'obtenir ce dernier résultat et, par lui, les valeurs conjuejnées de X et j, il suffit de calculer les coefficients S jusqu'à celui qui porte l'indice 9, puisque celui qui le précède, Sj, est égal à /, et qu'il donne luimême la valeur 8gr=i54o, égale à y,„, qui, étant divisée par A = 77, fournit la valeur de m, ; en somme, il suffit de calculer neuf coefficients.
» Passons actuellement au procédé de Gauss. Pour lui, la période, ne devant pas contenir de réduite avant le terme moyen nul, commence seulement par la deuxième du Tableau précédent, et l'on a :
Coefficients de substitution.
Valeurs de h. a. ?.
/g ^= — 4, 16, i3 — 8 3i — -260 — So 671
» On remarquera, dans ce Tableau, que les valeurs de S, sauf la dernière, sont les mêmes que celles de p du Tableau de l'autre mélbode, sauf les deux dernières de celui-ci.
» La période comprend donc deux réduites de moins que par l'autre méthode. On en tire, selon la règle de Gauss,
ce qni redonne les mêmes résnitats que ci-dessus. jMnis comme il a fallu, cette fois-ci, connaître la valeur de a, qui n'est plus égale à celle de (îs, on a dû calculer, non seulement tous les (5, mais encore les sept premiers p, puisque «5= [ï,. En somme, on a calculé quinze coefficients, au lieu de neuf seulement qu'exige la méthode mixte. Comme célérité, l'avantage appartient donc à celle-ci. Il reste à montrer que l'admission, dans cette dernière, des formes /j, et /",„, où le terme moyen est nul, ne viole pas les règles fondamentales imposées par Gauss. Or c'est ce qui a lieu ; car, d'une part, la somme des termes moyens 16 et o de y, et f^, respectivement, est un multiple — 4 = ^'9 f'u troisième terme de f^', de même que la somme analogue de y^ et y^ est un multiple /j,„ = o du troisième terme de^; d'autre part, on vérifie immédiatement qu'on passe de f^ à /g et de J\ ^ ftts P^r lii transformation o, — i, 1, A, qui donne, dans le premier cas, X = — y', y = x' — [\y' et, dans le second cas, a? = — y , y = x .
)> La légitimité de cette admission est donc établie, en fait, dans l'exemple numérique qui a été choisi ; il reste à l'établir d'une laçon générale, en opérant sur des données purement algébriques, pour le genre de questions qui nous occupe.
» Soit donc (a" — [\)x-~[\y^
I, l'équation dont il s'agit de dé-
montrer l'impossibilité, dans le cas de a = [\n+ i (« ^ i , 2, 3. . . .).
)) La méthotle mixte fournit le Tableau ci-après de la période et des coefficients de substitution :
ia — 5,
Coellicicnls fi
subslilution.
— an
in — \
— (6rt H-1)
8n(2n -hi)
8HM4n-^3)-'
ij 8/)
— 64/i=(nH-i)— a/i(an-
— 8/j(2/l -Hl
» Toiiles les remarques faites sur le Tableau numérique ci-dessus se reproduisent ici, savoir :
» i" L'égalité (au signe près) du terme moyen et du troisième terme de la réduite /i ;
» 2° L'identité de «,„ et de S,„, qui découle de ce que les valeurs de wzoc' et wS', données dans le cours de l'art. 162 des Disquisiliones [quatre lignes plus haut que les formules générales (L)], savoir :
deviennent, dans le cas présent.
(et, plus généralement, a„ = (5„ =. T), parce que les quantités m, a, %, v, S et B prennent, respectivement, les valeurs i, i, o, o. i, o, et que a. S' ne sont autres que «,„ et S,„; chacun d'eux est égal à t^•,
» 3" La divisibilité de y,„ par le [iremier terme A = a- — 4 de la forme donnée |a- — 4. o, — 4 |; le quotient est égal à m,;
» 4° L'inutilité de calculer d'autres coefficients que les S, puisque ceuxci suffisent pour faire connaître a,„ et y,,, ;
» 5" Enfin, le passage normal de la forme /g à la forme /j, par les binômes de transformation x —- — y', y = x' — in. y', et de celle-ci à la forme y, 0 par les formules x -= — y', y = x'; comme on s'en assure immédiatement en effectuant ce facile calcul. S'il s'agissait d'une équation résoluble, de la forme mx- — ny- = ± i, il se présenterait, au centre i de la période, trois réduites telles que /j, = | ± A, B, q: i |, /]■= | zp i , o, rb D|, yivi = I =t D, o, q= 1 1 (D étant le déterminant positif /w/i), et la période rétrograderait vers son origine, à la suite de cette dernière. Or il est clair que, dans ce cas encore, le passage de yj, à f^ et celui de /)• à /,v, se font dans les conditions normales, puisque 6-1-0 est toujours un multiple de i, et que 0-1-0 peut aussi être regardé comme un multiple de D, dont le facteur est zéro. Ajoutons que les valeurs a, et y, du premier et du troisième coefficient de transformation sont alors, respectivement, des valeurs de o; et de r (' ), satisfaisant à l'équation mx- — nv"^ = ± i , et qu'il en est
(') Ces valeurs x,,, r^, niinima minimorttm, résultent des formules (i) {Comptes rendus, p. 867), en y faisant i = ^0= i, m = Mo = o- Mais comme celles-ci, à cause de leur évidence, ne sont pas comptées parmi les solutions de l'équation L- — D^^-^I, je n'ai pas non plus compté x», /o parmi les solutions de l'équation proposée dans chacun
(996) de même des coefficients a et y, de rang np -t- i (p étant le nombre des réduites dont se compose la période et n un entier quelconque |5ositif, v compris zéro), si l'on continue le Tableau jusqu'à la fi""™'' période.
» Passant actuellement à l'application de la mélhode de Gauss, on obtient le Tableau suivant, où la forme F est proprement équivalente à la forme donnée <ï> = \a^ — 4, o, — 4j» ^^ sert de réduite initiale dans la période, conformément à la rè2;le posée dans le n" 195, des Disqidsitiones :
Coefficients de substitution
4, 2(a — i), na — 5,
3fl — 10
3ff — lo
/ô=3ff — 10
/,= 2rt — 5,
2{fl— l),
in{in — i)
-(a-, [ou— 4
8rt2— I
» On y voit que la période, qui a rétrogradé à mi-chemin, s'achève sans qu'on y ait rencontré la récluitey'= |+i, 2a — i, ± ([\a — 17)', que Gauss (d'après le n° 195 des Disq.) prend pour l'équivalente de la forme, à terme moyen nul, <p = [ zh (4a" — 16), o, q: i |. On en conclut, comme précédemment, que l'équation proposée n'est pas résoluble. On trouve ensuite
/, == i (y., + S,) = i [8«- - I + 8n\Sn + 5) - i | = 8//^(4« + 3) - i ,
Vg -[8/! (2/1 + 1)] . -
Ces résultats sont tes mêmes que ceux fournis par la méthode mixte; mais ils ont exigé le calcul de sept coefficients de plus.
» Les mêmes remarques, démonstrations et identités se présentent, avec
des cinq problèmes de ma Note du 21 mars, réservant cette qualification de moindres valeurs de x et y k celles x,, yi qui viennent ensuite et correspondent à i, et u^.
( ' ) Remarquez que tous les 0 de ce Tableau sont les mêmes, sauf le dernier, que les fl du Tableau précédent, sauf les deux derniers.
( 997 ) de simples nuances, dans les problèmes dont ma Note du 21 mars donne la soliilion. Dans la méthode de (iaiiss, le nombre total des réduites est alors inférieur de qualre unités à celui des réduites de ma méthode. Mais comme il V faut calculer tous les p et les S, si l'on veut résoudre complètement le problème par la détermination de x et de j, il s'ensuit cpi'au point de vue de la simplicité des opérations l'avantage reste encore à la méthode mixte, qui fait concourir vers un même but le procédé de Lagrange et celui de Gauss, dans ce genre particulier de questions au delà duquel je ne me permettrai de porter ni la discussion, ni la comparaison. »
PHYSIQUE. — Contribution à l'étude du phénomène de Zeenian. Note de MM. Hexri Becquerel et H. Deslaxdres.
« L'un de nous a déjà entretenu l'Académie de l'important phénomène découvert, il y a plus d'un an, par MM. Lorentz et Zeeman, phénomène qui manifeste l'influence d'un champ magnétique sur les périodes vibratoires des radiations émises par les vapeurs incandescentes. En particulier, lorsqu'on dispose une source lumineuse dans un champ magnétique, et qu'on étudie son spectre dans une direction normale au champ, M. Zeeman a reconnu que certaines vibrations simples se décomposaient en Un triplet dont les composantes extrêmes étaient polarisées rectilignement dans un plan parallèle aux lignes de force et la com()osante centrale polarisée dans un plan perpendiculaire.
» Plus lard, MM. Cornu et Michelson ont montré, chacun de leur côté, que le phénomène était plus complexe. M. Cornu a trouvé que la raie médiane devient souvent double, l'écartement des raies de ce doublet
étant environ -> en appelant a l'écartement des raies extrêmes du doublet
polarisé parallèlement au champ magnétique. M. Michelson a été plus loin, et, en étudiant de nombreuses sources au moyen de son réfraclomètre, il a conclu, des variations de visibilité des anneaux d'interférence, que chacune des trois raies du triplet observé par M. Zeeman devait être ellemême un triplet dont les trois composantes, polarisées dans le même plan, pouvaient avoir des intensités très différentes, et apparaître soit comme un doublet, soit comme une raie simple. L'écartement de deux
composantes voisines de ce triplet secondaire serait - pour le groupe pola-
risé perpendiculairement au champ magnétique, et ^ ou quelquefois ^ pour
( 91)8 ) le groupe polarisé parallèlemeiil au champ, a ayant la même signification que ci-dessus.
» Le mode de division des raies, indiqué par M. Michelson comme étant le plus général, comprend en particulier le cas signalé ])ar M. Cornu ; d'après ces observations, l'allure générale du phénomène découvert par M. Zeeman serait la même et les raies polarisées parallèlement au champ magnétique comprendraient toujours entre elles les i-aies polarisées perpendiculairement.
» Dans les recherches que nous avons entreprises, nous avons reconnu un mode de division qui ne rentre pas dans les catégories énumérées par M. Michelson; contrairement à ce qui a été observé jusqu'ici, une raie peut se diviser de manière que les composantes polarisées perpendiculairement au champ comprennent le groupe polarisé parallèlement. Ce phénomène d'inversion des modes de division que l'on rencontre le plus généralement nous a paru assez important pour être signalé dès maintenant.
» L'appareil que nous avons employé est un spectroscope photographique à réseau plattvde Rowland (o™,o5 >< o'",o8), qui recevait les radiations dans une direction perpendiculaire au champ magnétique, et dont on a pu utiliser le spectre du quatrième ordre. La source lumineuse était une étincelle électrique éclatant entre les pôles d'un électro-aimant, et dont l'image était projetée sur la fente du spectroscope, au travers d'un rhomboèdre de spath; on avait ainsi deux images de l'étincelle superposées et polarisées dans les deux plans principaux du champ magnétique.
» Le plus souvent, l'observation a été faite par la Photographie, de sorte que la même épreuve a présenté toutes les circonstances du phénomène pour un grand nombre de raies obtenues simultanément dans les mêmes conditions.
» Parmi les spectres des divers métaux que nous avons étudiés, nous citerons le spectre du fer, particulièrement intéressant à cause des raies fines el nombreuses qu'il présente dans les régions visible et ultra-violette. En attendant la publication des mesures micrométriques des clichés que nous avons obtenus, nous signalerons aujourd'hui, à titre d'exemple, une petite portion du spectre du fer entre les longueurs d'onde oi^.SS^ et 0^,382, qui est particulièrement curieuse par les variations qui s'y trouvent réunies.
)) Le Tableau suivant donne en dix-milliomèmcs de millimètre les dilïé-
rences de longiienr d'onde correspondant aux dédoiiblemenls mesurés sur une même épreuve, pour quelques-unes des nombreuses raies photographiées.
Daiis le rhamp magnétique ( ' ).
différence de longueur d"onde
des raies polarisées
ongueurs d'onde des
raies
perpendiculairement
parallèlement
shors du champ raagnélique.
au champ.
au champ.
nickel )
385o,io
Raie L 3820,64
» La figure ci-contre donne une idée de l'aspect que prend dans le champ magnétique cette région particulièrement intéressante du spectre du fer.
En dehors dQ champ niagoétique.
/ Polarisaliui \ perpeodîcala.
, "'"' 1 an cliaiup.
le cliaoïp t niasneiique. i par,||èle \ au champ.
» On reconnaît dans cette région une raie (/. = 385oio) qui n'est pas dédoublée alors que d'aulres présentent, à des degrés diflereiits, le phénomène observé par ^I. Zeeman; une raie (1 = 3872,61) montre un quadruplet comme dans les cas étudiés par M. Cornu; mais nous appelons tout particulièrement l'attention sur la raie 0 = 38G5,65). Cette raie se
(') Un appareil plus puissant permettrait viaiseniblablement de reconnaître comme multiples certaines raies que nous notons ici comme simples, mais pour lesquelles l'inlervalle des composantes serait au plus égal à o!^,ooooi. Quelques-unes des différences observées pour des raies de la même région paraissent dans un rapport simple. C. n . i.^gS. 1" Semestre. (T. CWVI, N° 14.) I29
( lOOO )
divise en un triplel, mais, à l'inverse des autres raies, elle présente un dédoublement noiable dans le spectre polarisé perpendiculairement an champ et apparaît comme à peine élargie (d'une quantité inférieure à 01^,00001) dans le spectre polarisé parallèlement au champ.
» Dans le même champ magnétique la dilTérence des longueurs d'onde des composantes extrêmes du quadruplet 0,(7^ = 5896,16) était
» Les anomalies que nous venons de signaler nous montrent que l'influence magnétique met en évidence des différences jusqu'alors inconnues entre les raies d'un même spectre, et ouvre ainsi un monde nouveau de faits qui intéresse la Physique, la (Ihimie et même l'Aslronomie. Ce |)hénomène peut, en particulier, fournir des distinctions importantes entre les raies d'un même corps ou de corps différents, et déceler des groupes naturels de raies vainement recherchés jusc}u'ici dans un certain nombre de spectres.
» A l'ajjpni de cette opinion nous citerons le fait suivant. T^a bande (>, = 388) du carbone a été photographiée par nous sous l'influence du cham|) magnétique. Cette bande, qui se retrouve dans le Soleil et dans les comètes, est remarquable, comme on sait, par la succession régulière de ses raies et par leur grand nombre. Or ces raies n'ont montré aucun dédoublement ou élargissement sensible, alors que les raies du calcium, photographiées avec la même source, sur la môme plaque, offrent très nettement la division habituelle. Cette observation peut être rapprochée du résultat négatif obtenu par M. Zeeman avec le spectre d'absorption de la vapeur d'iode. Il convient toutefois d'étudier d'autres spectres de bandes avant de conclure à une loi générale et à un nouveau caractère distinctif des spectres de bandes et des spectres de lignes qui, comme on le sait, présentent des lois différentes de la répartition des raies.
» Nous ajouterons encore que, dans la région ultra-violette voisine de \ = 01^,3 10, nous n'avons pu obtenir que des dédoublements à peine sensibles, et bien que, dans la région étudiée plus haut, on ne reconnaisse rt /)/vo/7 aucune loi simple entre le dédoublement et la longueur d'onde, il semble que l'effet général soit notablement plus grand pour les grandes longueurs que pour les petites, conformément aux idées publiées déjà par l'un de nous. Il convient aussi de rappeler que M. Zeeman n'a pu observer de dédoublement de raies dans le voisinage de > = 33o, et que, dans le Tableau des expériences de RI. Michelson, les plus grands dédoublements correspondent aux ravons rouges.
