C. R., if98, I" Semestre. (T. CXXVI, N' 14.) I 3o
( ioo8 )
Prix Vah (Asti-onomic). — MM. IjOewy, Faye, Callandreaii, Wolf, Janssen.
Prix Montyon (Statistique). — MM. Haton de la Goupillière, de Jonquières, J. Bertrand, de Freycinet, Rouclié, Brouardel.
Prix Jecker (Chimie organique). — MM. Friedel, Troost, Arm. Gautier, Moissan, Grimaux, Ditte.
MÉMOIRES PRÉSENTÉS
MÉCANIQUE. — Sur la déformation des pièces comprimées et la stabilité des grandes charpentes. Mémoire de M. A. Bérard, présenté par M. Maurice Lévy. (Extrait par l'auteur.)
(Commissaires : MM. Maurice Lévy, Sarrau, Léauté.)
n C'est un fait connu que les poutres de pont périssent généralement, non par flexion simple s'opérant dans le plan même de la poutre, mais bien plutôt par suited'un gauchissement dans lequel les semelles comprimées fléchissent perpendiculairement à ce plan.
» Il est facile de voir que les parties comprimées des semelles se trouvent dans la situation d'une pièce chargée debout, qui reste droite tant que la charge ne dépasse pas une certaine Hmite, mais qui fléchit ou, phis exactement, qui peut fléchir quand cette limite est dépassée.
» Les poutres de pont présentent ainsi un genre particulier d'instabilité contre lequel il est essentiel de se mettre en garde.
» Or les théories actuelles ne fournissent d'indications à cet égard que dans le cas simple dont nous venons de parler, si bien que les seuls ouvrages dont la stabilité puisse être assurée en toute certitude sont les systèmes articulés si justement préconisés par M. Maurice Lévy.
» Il importe dès lors de combler cette lacune dont les ingénieurs sont d'ailleurs depuis longtemps avertis par l'impossibilité où ils se trouvent de décider si le gauchissement est ou non à redouter el de calculer, le cas échéant, le contreventement destiné à le prévenir.
» Une étude théorique est même d'autant plus nécessaire, dans ce cas, que les épreuves de réception peuvent ne pas mettre en évidence l'instabilité particulière dont il s'agit.
» En effet, même quand cette instabilité est réelle, l'ouvrage, calculé
( loot) )
comme il l'est d'habitude, est en état de résister à toutes les charges prévues tant que les hypothèses qui ont servi de base au calcul se trouvent satisfaites; et c'est seulement quand des circonstances particulières ont provoqué un commencement de déformation des parties instables que cette instabilité peut apparaître.
» En considérant les semelles comprimées comme des pièces isolées, le problème revient, en définitive, à étudier les conditions de flexion d'une pièce soumise, dans sa longueur, à des efforts de compression variables d'un point à un autre, et qm' se trouve en même temps soutenue latéralement par des actions élastiques qui tendent à s'opposer à sa flexion.
)) Comme d'un autre côté l'action de l'âme prévient toute flexion des semelles dans le plan de la poutre, il n'y a lieu d'envisager que la flexion de ces pièces dans le plan perpendiculaire, ce qui ramène le problème à une question de flexion plane.
» Abordée par la méthode ordinaire, la question, même réduite à ces termes, serait cependant presque impossible à résoudre; mais' on arrive, comme nous le montrons dans le présent Travail, à obtenir des indications largement suffisantes pour la pratique, en renversant en quelque sorte le problème et en remontant à l'expression même du travail de déformation qui indique la manière dont varie le travail des diverses forces quand la pièce subit une déformation donnée.
» Parmi les résultats qui se dégagent de cette élude, les plus simples sont les suivants :
)) i" Dans une pièce compiimée à la manière de la semelle supérieure d'une poutre de longueur L, chargée d'un poids uniformément réparti et non soutenue latéralement, la flexion est à redouter si la compression maxima atteint la limite
N = 20 jj-
» 2° Si, au contraire, la pièce est soutenue latéralement par des actions élastiques telles qu'un écartement j d'un élément ds engendre une force gyds, la compression maxima, à partir de laquelle la flexion est à craindre, a pour valeur
El I , , ^ ., „ ^ El
= ^"jT -^- 5'/L- SI ^L--^-2^ < 100 JJ
et
N = ^i/^(<7L^+2N) si yi;-'+ 2X> looj^-
( lOIO )
» Ces dernières formules donnent le moyen de fixer la raideur que doit présenter le contreventement pour assurer la stabilité de la pièce quand sa raideur propre ne suffit plus à prévenir la flexion.
» Au degré de précision que comportent des calculs de ce genre, l'emploi des seules formules qui précèdent pourrait même déjà suffire à guider les ingénieurs et leur permettrait, dans la plupart des cas, d'établir d'une manière rationnelle les contreventements nécessaires.
» Mais la considération du travail de déformation que nous utilisons n'est pas limitée aux cas spéciaux que nous venons d'indiquer; cette méthode si féconde s'applique à un ouvrage quelconque et nous montrons qu'elle n'exige pas en général des calculs très laborieux.
» On est, en effet, presque toujours fixé d'avance sur la nature des déformations qui peuvent entraîner la ruine d'un ouvrage donné et la question se réduit à vérifier si ces déformations sont ou non à redouter. Il suffit dès lors, pour la trancher, de former l'expression du travail correspondant à ces déformations et de voir si ce travail est positif ou négatif.
» Si le travail correspondant à la déformation considérée est négatif, il faut une dépense d'énergie pour la provoquer, et si des circonstances accidentelles l'ont produite, elle tendra d'elle-même à disparaître; cette déformation ne sera donc pas à craindre. Si, au contraire, ce travail est positif, la déformation ne pourra être détruite qu'au prix d'une dépense d'énergieet le plus souvent elle aura tendance à augmenter une fois produite.
» Or, l'évaluation de ces travaux peut toujours se faire aisément en partant du tracé graphique qui représente la déformation, soit que les efforts dépendent uniquement de la quantité qui représente la déformation en chaque point, soit que, plus généralement, ils dépendent, en outre, des dérivées de cette quantité. »
M. L. Lagarde soumet au jugement de l'Académie divers appareils électriques dont il donne la description et l'emploi.
(Commissaires : MM. Cornu, Mascart, VioUe.)
M. OEcHSXER DE CoxiNCK adrcssc une réclamation de priorité relative à ses recherches sur le rachitisme.
(Renvoyé à une Commission composée de MM. Bouchard, A. Gautier et Potain.)
M. le Ministre de l'Instruction pcblique invite les Membres de l'Académie à assister, le samedi i6 avril, à 2'', à la réunion générale de clôture des séances du Congrès des Sociétés savantes.
M. DE JoNQUiÈRES offrc à l'Académie, en la priant de la conserver dans ses Archives, la Lettre autographe de Gauss dont il avait communiqué le texte dans la séance du i3 avril 1896.
GÉOMÉTRIE. — Sur les congriiences qui sont de plusieu/'s manières des congruences K. Note de M. C. Guichard, présentée par M. Uarboux.
« J'ai appelé congruence K une congruence conjuguée à un réseau C; j'ai montré qu'une telle congruence est applicable sur une congruence de l'espace à cinq dimensions (voir ma précédente Note). Je vais chercher, ici, s'il est possible que cette congruence soit applicable sur deux congruences distinctes de l'espace à cinq dimensions.
)) Les plans focaux d'une congruence R sont définis par les équations
( aX, + eXo-4-g-X3 + /(- = o, I èX, +/X, + AX3 + /=o.
où l'on
da , de /■ ds^ , dh ,
—- = bm, -T- = fni, -^ = km, -y- = im,
Ov uv •' o\' ov
db df dk dl ,
^- = art, -f-=e«, -— — o^n, -^ = hn,
du ou du " du
OÙ a, e, g, b, f, k, m, n sont les rotations d'un déterminant orthogonal à cinq lignes.
» Si cette congruence K est applicable sur une autre congruence de l'espace à cinq dimensions, il faudra qu'il existe un nouveau système de fonctions a' , e', g , h' , b' , f, k' , ï jouant le même rôle q>ie les précédentes. Les fonctions a' , e' , ^ , h' sont respectivement égales aux fonctions a, e, g, h multipliées par un même facteur; de même les fonctions b' , f , k', l' aux fonctions b, f, k, l multipliées par une autre facteur. A cause des rela-
( IOI2 )
tions(2), le premier facteur doit être une fonction de u, le second une fonction de v. On aura donc
a':=r/U, e' = e\], g'^gV,
h'=^b\, J'=fy, k' = ky.
» On en déduira
m = m-r;, /i =^ nj^-
» Écrivons que les relations
, , /• 7 Oin On
ab ^ c-f -\- "k + -Y- + -)- = "•
) ' O ÙK' au
\ , 1 , , r, ,11 t*'"' an'
l '' " ov au
sont satisfaites. La seconde peut s'écrire
, , s j ri <^"' ' dn I \" U'
(4) ab + f/+ é'-^- + Tj;: yi ^ J7I ïp ~ "' V^ ~ " r^ = ''•
» En retranchant (3) et (4). on trouve
, ^, V dm / I \ I / I \' an ( \ \ I / I \ '
(^) -^ b ~ V ^ ï"^v^ -- ') ^ j;;(c^ - V + ï^Hû^ - 1) =o.
» Laissons de côté ici le cas oîi l'une des fonctions U ou V se réduit à l'unité; la relation (5) peut s'écrire
» On sait qu'on peut remplacer les fonctions U et V par les fonctions
U, et V, telles que
u^-' = Hiïï~V' vï-^ = Hv|-V'
a étant une constante. Donc :
» Si une congruence est K de deux façons, elle l'est d'une infinité. » La relation (G) permet de poser
( ioi3 ) » Alors, par exemple,
rt- ( j^ — I ) du- + Z-*' ( Yi "~ I ) ^''"
est le ds- d'un plan. Le réseau de l'espace à cinq dimensions
a" du- -+- b- (h'-
est associé à un réseau plan. Donc :
)) La recherche des congruences plusieurs fois R est identique au problème de Ribaucour dans l'espace à cinq dimensions.
» Prenons alors une congruence K, applicable sur une infinité de congruences R', R", ....
» Si l'on coupe la congruence R' par un plan isotrope, le point correspondant M de la congruence R décrit un réseau C; les points correspondants sur les autres congruences R" décriront aussi des réseaux. Ces réseaux peuvent être situés soit dans un plan isotrope, soit dans un plan quelconque, soit enfin être en dehors de tous les plans. Donc :
)) Tout réseau C d'une congruence plusieurs fois R est : C, C ou C, 2C ou C, 3C.
» Inversement :
» Toute congruence conjuguée à un réseau C, C est plusieurs/ois R.
» Considérons un réseau C, 2C. Si le réseau était seulement 2C, il y aurait une seule congruence R qui lui est conjuguée ; si le réseau est en outre C, cette congruence sera R de deux manières; donc :
» Tout réseau C, 2C est aussi, d'une infinité de manières, 2C ou 3C.
» Prenons maintenant un réseau C, 3C. A chaque réseau 3C est conjugué deux congruences R; ici ces deux congruences seront plusieurs foisR; donc :
» Tout réseau C, 3C est d'une infinité de manières 3C. »
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Nouvelles expressions des éléments d'un système orthogonal par les fonctions tlièta de deux arguments et leur application à la Dynamique. Note de M. E. Jaunke, présentée par M. Poincaré.
« On sait que l'on peut composer un système orthogonal avec deux systèmes orthogonaux. En poursuivant la voie ouverte par M. F. Caspary, je suis arrivé à généraliser la notion ordinaire de composition en composant un système orthogonal avec quatre systèmes orthogonaux.
» Ce système joue un rôle important dans l'étude des problèmes de
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Dynamique. En efFet, si l'on y introduit les fonctions thêta de deux arguments, on obtient de nouveaux systèmes orthogonaux qui renferment les solutions d'un nouveau groupe de problèmes de Dynamique. De plus, l'origine de ces systèmes porte à généraliser ce célèbre théorème de Jacobi qui permet de décomposer le mouvement d'un corps grave de révolution, suspendu par un point de son axe, en deux mouvements à la Poinsot.
» Avant d'établir le nouveau système composé, je vais rappeler d'abord les définitions suivantes que j'ai données dans un Mémoire, inséré au Tome CXViri du Journal de M. L. Fi/chs :
» Soient (^j(i,j^=i, 2, 3, 4).
€pr,= —{c,,d(,j-ht,idc,j+C3idc,j^c,,i(k,j), i^j^r^s; ^^rs = f/i dCj, -+- Cii d(j., -+- c,3 de IX ■+- c, ., d(j,,. i, /, r, j = i , 2, 3, 4 ; i , 4. 2, 3,
2, 3, 1, 4; 2, 4.3, I, où 3, 1, 2, 4; 3, 4, 1,2,
€ = r'^, -I- r^,- + r';;, 4- cj, = c;, + r;, + (% -+- cj, ,
les vingt-huit éléments du système orthogonal ( c,y). Alors on en peut former les quinze éléments des deux systèmes orthogonaux (a„,„) et (b,„„)
an„n Ph{oi.), i';,(oi); b,„„, Pf,(l^), i'/,(^) (m, « = 1 , 2, 3 ; ^ = F , 2, 3)
au moyen des relations
(!Ea„ = t;;-c:;, €û3, = <;-<;.
2P3, = — P^i'-^) + P-X?-')^ ^Pi2=-Pi{«-) + Pz{^)^
où
» J'ai appelé les (a,„„) et (b^,,) les systèmes adjoints au système (r,y) (voir loc. cit., p. 223).
» De plus, désignons par e,„,j(m, « = 1, 2, 3),
Ph{c) = ~{'''Kkde,i+ e.^^de.,1-^ e^^dc^i),
2, J, I , ^'h{e) = e^, de/, H- Pa2 de,2 -f- r^, de,, 3, i , 2
