IK
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les quinze éléments d'un qualrième système orthogonal (e,„„). Alors le nouveau système, composé des systèmes (e„,„), (a,„„), (b,„„), ((,/), prend la forme suivante
A(a,^'\-ia.,/,) = E% [(e, , + ie., , ) ix,,, -i-(e,., + ic.,.,) a,,. -+- (e, , -h ie.,^) 0^, ] , A(«,A - ia.,/,) = E B [(f, , - ie.,,) by,, -t-(>,2 — «'«'is) b/i. + (c,-., — «>2a) 1»a:)],' Aa.,,,= E(c3,Ca, ■+ f32CA2 + ^33fA3- 'CaO' A =iE(e,,CH + <'32f,2 + e33c,3— h,-,),
Aph= E[/?,(e)c/„-f-/>,(e)o,o + /J3(e)fA3- i>3(fi)fAj
+ 'E(e3,yA, + e^^Y^, + e.,.,y^., — i^i,,,),
AC3 = ;'E[/J, (e) c,, -f- /?,(r') c,o -+-^3(c)c.,;, — iV;{e) (.,]
— E(e3,Y.,,-!-e3,Yi,-f-e33Y.,3- i'y,,),
+ (e,. -T- le.,.)p,(x) + (e,3 + /e, 3)^3 (y.;)],
A(^^,-H',)=EBh(e)-/>,(e)]
+ (e,,-ie,,)yO,(^)-h(e,3-;>,3);;3(fi)]
(A = 1,2, 3), où
et les facteurs E, 51, |î relatifs aux systèmes (e,„„\ («,„,,), (b,„„) jouent le même rôle que le facteur A relatif au système («„;„). Les coefficients yij(i,J ^ I, 2, 3, 4) découlent des coefficients c,y, si l'on remplace les produits aji^^ par les différences ot^^dp^ — pv^^^ix (y- = i, 2, 3, 4) dans les expressions des C/y que M. F. Caspary a données au moyen des deux quadruples de paramètres a^,, fi^ (voir Journal de Boichardt, t. 94, p. 70). » Il est évident qu'en posant
b„,„ = rt,„„ , h = ^
et, par suite,
fAi = f4/i = o, (/i = i,2,3), c,„,, = a„,„, c-..=^ = ^-,
le système (a,,,,,) se transforme en un système composé de la manière usuelle.
» Cela posé, pour tirer du système (a,„„) de nouveaux systèmes orthogonaux pour les fonctions thêta de deux arguments, on n'a qu^à y introduire les systèmes orthogonaux relatifs à ces fonctions et que l'on doit à
c. R., 1898, I" Semestre. (ï. CXXVI, N° 14.) l3 J
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Weierstrass et à MM. H. Weber, F. Caspary et F. Koller. Ou voit aisément que tous ces systèmes se divisent en deux classes différentes.
» En premier lieu, on peut remplacer le système (c,y) et, par suite, les systèmes (a,„„) et (b,„„) par lesdites fonctions, en laissant le système (e,„„) quelconque. De là découle un système très général des fonctions thêta de deux arguments comprenant les solutions du problème de rotation dues à Jacobi, Lottner, Dumas, Halphen, M™^ de Rowalevsky, et à MM. Hermite, Darboux, Hess, F. Caspary et F. Rotter, et celles du problème relatif au mouvement d'un corps solide dans un liquide et qui a été traité par MM. H. Weber, F. Caspary, F. Kutter, W. Stekloff, Liapounoff et R. Liouville. Ce système orthogonal a été découvert par M. F. Rotter (voir Sitzungsber. der Berl. Ak., t. XXXVI, p. 807-814)- Je l'ai complété et généralisé dans un Mémoire, dont M. L. Fuchs a bien voulu présenter un résumé à l'Académie de Berlin (voir Sitzungsber. cl. Berl. Ak., t. XXXIX, p. i023-io3o).
» En second lieu, c'est le système (e„,„) qui peut être remplacé par les fonctions thêta, tandis qu'on laisse les systèmes (c/y), («,„„) et (b,„„) quelconques. Ainsi se déduisent de nouveaux systèmes orthogonaux que l'on n'a pas encore établis, que je sache.
» I>e plus simple de ces systèmes s'obtient en choisissant pour le système (e,„„) un svstème orthogonal des fonctions thêta ou sigma d'un seul argument communiqué par M. F. Casparv au Tome VI du Journal de M. C. Jordan. W fournit la résolution du problème de la rotation de corps solides liés l'un à l'autre, dans le cas traité par MM. Wangerin et Volterra. Dans un Mémoire, qui va paraître prochainement, j'ai résoin complètement ce problème.
» Les autres systèmes de la deuxième classe renferment, eux aussi, les solutions de problèmes relatifs à la rotation et au mouvement dans un liquide. Si l'on divise lesdits problèmes en deux groupes, selon que les systèmes orthogonaux de la première ou de la deuxième classe en donnent les solutions, on peut dire que les problèmes du deuxième groupe se déduisent de ceux du premier groupe, en supposant encore des mouvements dans l'intérieur des corps solides, et qu'ils concernent donc des systèmes dynamiques que H. von Helmholtz a appelés 5j'5/c/«ei' /«o/zo6^'c/«ywe^ (voir Journal de Kroneckcr, t. XCVII). »
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MÉCANIQUE AXALYTIQUE. — Sur une tran.tformatt'on de /'équation d'Eamilton. Note de MM. W. Ebert et J. Perchot, présentée par M. Poincaré.
« La méthode employée par M. Jacobi, pour intégrer l'équation d'Hamilton, consiste à introduire des variables telles que les deux membres de l'équation soient formés de plusieurs expressions dans chacune desquelles il n'entre qu'une seule inconnue. ]M. St;ickel a démontré que cette méthode n'est applicable que s'il existe une intégrale entière et du deuxième degré par rapport aux vitesses.
» Nous nous proposons d'établir que, dans certains cas, on peut remplacer l'équation d'H;miilton par une autre, de même forme, dans laquelle figure, au lieu d'une des variables primitives, un des paramètres du problème.
» Considérons l'équation
(•> ;[(^ol''*(^'n = '"'^- •■•'>■
où a désigne un paramètre quelconque, par exemple la force vive, et supposons que Rfr, V, x) soit de la forme
On a
dJ\ dR ^ -
(2) mr~, — i-y—, — h«R = o,
^ ■' ar ai
m eln étant deux nombres déterminés.
» L'équation ( i) devant être vérifiée identiquement, son premier membre satisfait à la même relation que R( r, r, x). On a donc
/ f/s f ,rf-s ., d-s ^ds I II r\
( "^ Tu- V"^ dTTh- "^ "^ di- doi "^ 2 ch- )'
M II est aisé de vérifier que cette équation est encore satisfaite par les solutions de (4),
, , ^ dS di n „
^ '' dr di 2
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Nous nous proposons d'abord de montrer que les équations (i) et (4) ont des intégrales communes. On sait qu'on satisfait à (4) par des expressions de la forme
où l'on a
Avec ce changement de variables, l'équation (i) devient
En remplaçant, dans une intégrale complète de (6), i\ par— et en déterminant S par la formule (5), on obtient une solution commune des équations (O et (4).
» De la formule (5) on déduit
f/S a~^"^' f/G cir m dv.
et, en substituant dans (i), on trouve
On introduit ainsi a, comme variable, au lieu de /■.
» Nous allons appliquer ce qui précède au mouvement plan d'un point matériel attiré par un centre fixe.
» Soient ret v les coordonnées polaires du point mobile par rapport au centre fixe et a la constante des forces vives. L'équation d'Hamilton est
on a
nr ai.
» En posant (f)) S = -^G(r,.c), r^=a.t,
l'équation (8) s'écrit
Elle admet l'inlégrale
(lo) G =fdr, y/^-2 - ^ + V^.;
on a donc, par la formule (9).
' = hf"-\/'^
i.fV.
"1 , Vi ^.
» En remplaçant, dans cette expression, r, par cr et en considérant r comme variable, oc comme paramètre, on est conduit à la solution de Jacobi. D'autre pari, l'équation (7) est, dans ce cas,
en remplaçant encore r, par ocrdans (10), en y considérant r comme constante et a comme variable, on obtient une solution de l'équation (11). »
PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur les déformations quéproin'e un diélectrique solide lorsqu'il devient le siège d'un champ électrique. Note de M. Paul Sacerdote, présentée par m. Lippmann.
« Je me propose de montrer que les deux principes de la conservation de l'énergie et de l'électricité permettent de prévoir ces phénomènes de déformations [découverts par M. Dater (') pour les condensateurs sphériques] et de les rattacher aux lois de l'élasticité; je me bornerai au cas d'un diélectrique homogène et isotrope.
» Prenons une lame diélectrique plane et métallisons-la sur ses deux faces, de façon à former un condensateur plan d'épaisseur e.
» 1° Déformation dans les directions perpendiculaires aux lignes de force. — Par symétrie, cette déformation est la même pour toutes ces directions. Donnons à la lame une forme rectangulaire de côtés //' et imaginons cette lame soumise à une traction q parallèle kl par exemple; maintenons la température constante, l'état de la lame sera alors fonction de deux variables : la traction q et la différence de potentiel V entre les armatures; proiluisons^une transformation r/V, dq\ le travail à fournir est
d& = \ dm -h q dl.
(') DuTHR, Comptes rendus, p. 828, 960, io36; 1878; p. 1260; 1879.
M désignant la charge électrique du condensateur : ce qui peut s'écrire, en tenant compte du principe de la conservation de l'électricité,
dCr = Yl dV+ .--dq) + gl ^.^.dY + -dq):
mais cette expression de ce travail est une différentielle exacte, d'après le principe de la conservation de l'énergie; d'où, après réductions ('),
la variation de la capacité par la traction est faible, donc on peut négliger ses propres variations avec V, c'est-à-dire regarder -j^ comme indépendant de V ("); en intégrant (i), on a alors
Cette formule est vraie, quelle que soit la valeur de q; elle nous donnera encore la déformation pour </ = o, c'est-à-lire dans le cas du condensateur
libre qui est celui que nous voulons étudier; mais C = ,^77' R désigne la
constante diélectrique
. .. 1 (JC
I OK 1 dl 1
ôl'
I de
les deux derniers termes se détruisent, car la traction contracte également toules les lignes qui lui sont perpendiculaires; il reste
(^^) if =^^-' + «);i'
a désignant le coefficient d' allongement longitudinal. X", désignant le coefficient de variation de K par traction perpendiculaire aux lignes de force. » Portons celte valeur (Ji) dans (i), nous obtenons, après calculs,
C) Le raisonnement précédent est à peu près la reproduction de celui fait par M. Lippmann dans ses Applications du principe de la con/sen-ation de l'électricité {Annales de Chimie et de Physique, 5" série, t. XXIV, p. (45; 1881").
(') L'expérience justifie celte hypothèse, puisqu'elle montre que, dans tous les cas étudiés, la déformatioM est bien proportionnelle à ^'.
lelle est la formule qui donnera la variation A/ de / dans la direction perpendiculaire aux lignes de force, mais elle ne la donne mec cerlitiide qu'au départ, c'est-à-dire tant que le condensateur n'est chargé qu'à un potentiel assez faible pour que les lois de l'élasticité subsistent; nous interpréterons cette relation (r') un peu plus loin.
» 2° Déformation dans la- direction des lignes de force. — Imaginons la lame soumise cette fois à une traction q parallèle aux lignes de force ; un calcul identique au précédent donne
^-' ÔX ~ dq
et en intégrant
