X ' . \' OC

(^) ^'=TTq'

la relation i x ) donne, cette fois,

b désigne le coefficient de contraction transversale : k.^ le coefficient de variation de R par traction parallèle aux lignes de force .

» Portons cette valeur (^') dans (2') et l'on obtient, après calculs,

» 3° Variation du volume u de la lame diclectrique. — Imaginons la lame soumise à une traction uniforme q sur toute sa surface, un calcul identique au précédent donne

c désigne le coefficient de compressibilité cubique du diélectrique c = 3 (a^ 2e); k le coefficient de variation de Kpar traction superficielle unifornie.

» Remarque. — On peut aussi déduire cette variation de volume des résultais précédents {i"), (2); on obtient ainsi :

iï = [(L + =*■, , ^,a-.l,)](^)== [(X, + .k.) + ïj {^}.

en comparant ce résultat au précédent (3"), on obtient la relation (,4) X = X%+ 2/-,.

>' En résumé, les formules (^1"). 1^2"), (3) montrent que toutes les défor-

malinns unitaires subies par une lame chéleclnque plane sont proportionnelles à l'énergie électrique par unité de volume ( -^^ y

» Les coefficients sont :

(k, -H a) pour la variation unitaire perpendiculairement au champ ; (X,, — a — 2 Z*) pour la variation unitaire parallèlement au champ ;

(k -h ^j pour la variation de l'olume par unité de volume.

» Les coefficients élastiques a, b,c sont, en général, connus; mais aucune expérience n'a encore été faite pour déterminer kf, k.^, k qui sont probablement très petits; si nous négligeons ces derniers, les résultats cidessus indiquent qu'il doit v avoir : contraction dans la direction des lignes de force; allongement dans les directions perpendiculaires et augmentation du volume du diélectrique. Pour ces deux derniers phénomènes, le sens est bien celui que donne l'expérience faite sur le verre; quant au piemier, il n'a pas encore été observé.

Remarque. — Des raisonnements, calqués sur ceux que nous venons de faire, permettraient d'étudier les déformations d'une lame diélectrique cylindrique ("condensateur de M. Righi) ou sphéiique (condensateur de M. Dater); je reviendrai ultérieurement sur ces deux cas. »

PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur un problème de la théorie analytique de la chaleur. Note de W. Stekloff, présentée par M. Poincaré.

« Soit (D) un domaine de l'espace limité par une surf;ice convexe (S), ayant en tout point une courbure finie et déterminée. On sait qu'il existe une infinité des nombres positifs \).s{s = i, 2, . . .) et des fonctions correspondantes Vj, satisfaisant aux conditions

] O-i;^ dj- dz°

(j-jV^^o à l'intérieur de (D), /iVj = o sur (S),

où n désigne la direction de la normale extérieure à (S), h une constante positive (Voir H. Poincxué, Rendic. del cire, di Palermo, 1894; Le Roy, Comptes rendus, 18 mars 1893).

» Soient B, des constantes quelconques, f une fonction finie et continue à l'intérieur de (D) avec ses dérivées du premier ordre. Désignons

^ar a-z l'élément du volume de (D), par ds l'élément de la surface (S) et posons

» H est aisé de constater que où

» Désignons par V^' et W^ les valeurs de V et W pour B^= A,.. Les égalités (2) nous montrent que

(3) \"-;vVv„<v^-;;.^,w;:.

» Soient a^(i = i . 2 m) m coefficients arbitraires, o^Y-v =1,2, . . . , ni)

m fonctions quelconques. Posons

\ Il

» On peut choisir les «^ de telle façon que le rapport ^r^n^ soit plus grand

que I>^; L„, est un nombre qui croit indéfiniment avec m. D'autre part, on peut choisir le nombre m de telle façon que L,„ > a^. » Par conséquent [l'inégalité (3)]