C. R., 1898, I" Semestre. (T. CXXVI, N
«désignant le rapport de la parallaxe à sa valeur moyenne et p la déclinaison de l'aslre. Si l'on convient d'accentuer les lettres pour le Soleil et si l'on appelle 9 l'excès de l'ascension droite de la Lune sur celle du Soleil, A et A' les quantités 0,7^3^ cos^c et o.aoyt^ cos^t-', on aura pour l'expression du coefficient de la marée semi-diurne
(A- + A'- -1- 2 A A' cos 2 ç)" .
» C'est à celte formule que répondent les chifFres publiés par V Annuaire des Marées des Côtes de France et par V Annuaire du Bureau des Longitudes, et dont le produit par l'unité de hauteur d'un port permet d'évaluer approximativement la hauteur de la pleine mer au-dessus du niveau moyen, dans ce port. Aux époques des syzygies 29 est zéro et l'expression du coefficient des marées de vive eau devient A -H A' ou
0,7 '(S /^ cos- 1' + o,'j jj j'''cos-i''.
Les nombres 0,743 et 0,257 ^°"'- *^3"s le rapport 2,8g4 à r, rapport des actions de la Lune et du Soleil.
» L'expression i^co^-v ])eut être développée eu fonctions périodiques des variables considérées dans l'Analyse harmonique et qui sont, suivant les notations de M. Darwin, s et p, longitudes moyennes de la Lune et du périgée lunaire, hetp,, longitudes moyennes du Soleil et du périgée solaire. Il convient en outre d'introduire la variable N, longitude moyenne du nœud de l'orbite lunaire, qui n'entre pas directement dans les expressions de l'Analyse harmonique pour lesquelles on admet toujours une valeur moyenne annuelle de cet élément. Mais on rencontre dans ces expressions, comme dépendant de N, la variable désignée par l et qui n'est autre que la longitude de l'intersection de l'orbite de la Lune avec l'équateur, longitude comptée sur cette orbite.
» Si l'on appelle w l'inclinaison de l'écliptique sur l'équateur et a. celle de l'orbite lunaire sur l'écliptique, on aura
cot (N — i) sinN = cosN cosoc -1- sina cotco.
» En introduisant dans cette formule les valeurs numériques de o et a, on obtient, pour des valeurs successives de N, celles correspondantes de sin2^ et cos2^; il est possible ainsi de déterminer empiriquement les coefficients d'un développement de ces fonctions en termes périodiques dépen-
( i'i3 ) dant des multiples de N. Les formules obtenues sont
sin il -— o,4o54 sin\ — o,o449 siu2X -!- 0,0093 sin3N
— 0,0020 sin4X -1- . . ., COS2; = 0,9^70 -i- 0,009 S cosN -!- 0,0409 cosp.X — 0,0093 cos SX
-i- 0,0020 cos4N-f-
» Cela posé, le calcul de cos-f, le seul qui présente quelque complexité, résultera des formules suivantes :
» l désignant la longitude de la Lune dans l'orbite, comptée à partir de son intersection avec l'équateur. et I l'inclinaison de cette orbite sur l'équateur, on a
cos-c = cos'l -7- sm-/cos- L
cosi =cosxcosc!j — sinx sinoj cosX.
)) Introduisant les valeurs numériques de x et 10, on obtiendra
cos-f = 0,91 77 + 0,0823 C0S2/ — o,o326 cosN
-f- 0,0 163 [cos(2/ — X) 4- cos(2/-+-N)] -h o,ooo3 C0S2X
— 0,0002 [C0S(2/ — 2X ) 4- COs(2/-i- 2X)].
» D'après les relations et formules adoptées dans l'Analvse harmonique, on a
il = 2{s—l) -h 4esin(5 —p) -7- f e" sin2(i — />)
-H ^ me sin(s — 1/1 -t- p) -v- V m- sin ( is — 2/* ) .
et, d'autre part,
i' ^ — ^- — I — -.e-^ 3ecQ^(s — p) -T-- e'- cos(is — ip)
-+- ^ mecos(s — 1/1 ^ />) -h 3m-cos{ js — i/i)\.
» Les variables s. p elc ont été définies plus haut, e désigne l'excentricité de l'orbite lunaire; dans les deux derniers termes de chaque développement, qui se rapportent aux inégalités de l'évection et de la variation, m est le rapport du moyen mouvement du Soleil îi celui de la Lune, /^ !a longitude movenne du Soleil.
» Remplaçant 2/ par sa valeur dans cosV, après avoir exprimé ç en fonction de X, faisant le produit P cos-c et traduisant numériquement tous
(iii4)
les coefficients, il viendra
i'cns"c = 0,922 + o, i53 cos(^ ~/') + 0,078 cos2i — o,o33 cosN
+ o,o33cos(25 — N) + 0,016 cos(3^ — p) -+- 0,01 3 cos(25— ip)
+ o,o28cos(j — ih-\- p) -\- 0,023 cos(2.ç— 2A) + 0,006 cos(35 — /> — N)
— o,oo3cos(^ — p -1- N) — o,oo3cos(^ — p — \) + o,oo2cos(35 — 2/1 -\- p)
» Le développement du coetticient solaire exigera un nombre de termes beaucoup plus restreint car on n'a d'autre inégalité à considérer que l'équation du centre et l'excentricité de l'orbite est très faible :
i' cos-t''= 0,921 -I- 0,0790052/4 + 0,0/(6 COS(74 — p,)
-t- o,oo5 cos(3A —/?,)+... .
» Les mouvements diurnes des variables considérées sont :
Pour 5 i3, 1763960
Pour h 0,9866464
Pour/7 0,111 4082
Pour N — o , o52 954 o
» Le périgée solaire est sensiblement immobile, car la variation de/?, est i°,7i par siècle.
)) En bornant les recherches au cas des syzygies, on peut simplifier notablement le premier développement, surtout si l'on envisage uniquement les grandes lignes de la loi de variation du coefficient. Il suffit de remarquer qu'aux environs des syzvgies on a sensiblement 25 = 2/;; le terme o,023 cos(2 5 — 2A), qui provient de la variation, devient constant et sa valeur vient s'ajouter à la constante 0,922. D'autre part, le terme 0,028005(5 — 2/1 -\-p), répondant à l'évection, nous donne
0,028 cos(s — p)
qui s'ajoute à o, i53 cos(s — p).
)) Pour opérer g-osso modo, réduisons le développement lunaire à ses trois premiers termes ainsi modifiés et le développement solaire aux deux premiers termes, il viendra, pour le coefficient de syzygie, en faisant 25 = 2//,
o, 743 1' cos^i^ -I- 0,2571' cos^t»' = 0,939 dz o, 1 35 cos{h—p) +0,078 cos2 /j .
( i'i5 ) Le sio;ne -h se rapportera aux nouvelles Lunes et le signe — aux pleines Lunes.
» Cette formule, où ne figurent plus que les deux variables h et p, suppose évidemment que la Lune se meut dans le plan de l'ccliptique et que l'excentricité de l'orbite solaire est négligeable. La valeur maximum du coefficient, obtenue en faisant /* = o et/) = o, serait i.iSa, résultat qui ne diffère pas beaucoup du maximum i,i8 que l'on obtient avec la formule complète.
» La discussion est très aisée en partant de la formule simplifiée ; il faut remarquer toutefois que les arguments h — p et 2/1 ne devront varier que d'une manière discontinue. La progression entre deux demi-lunaisons consécutives est de 12°, 91 pour h — p et 29°, i r pour 2/1. On retrouve ainsi les principaux résultats obtenus par M. Thiébaut, sur lesquels il n'y a pas lieu de revenir ici.
» Mais il convient de signaler, à cette occasion, les Aaleurs du coefficient qui répondent aux svzvgies d'équinoxe. En faisant /t ^ a ou h ^ 180, on obtient pour le coefficient l'expression 1,01^ =fc o, 1 35 cosp ; le signe -+répondant, pour l'équinoxe du printemps, à une conjonction des astres, et pour l'équinoxe d'automne à une opposition. La constante 1,017 ^^'• évidemment la valeur moyenne du coefficient en syzygie d'équinoxe.
» Cette valeur étant supérieure à i, on obtiendra un chiffre plus grand que l'unité de hauteur d'un port en faisant la moyenne de toutes les hauteurs de svzvgies d'équinoxe observées dans ce port pendant une très longue période, celle de la révolution des nœuds de la Lune, par exemple. C'est ainsi que l'on a opéré pour Brest au commencement du siècle.
» La définition actuelle du coefficient est, à cet égard, un peu différente de celle qu'avait adoptée Laplace. D'après la formule énoncée ci-dessus pour les svzvgies, 0,743/' cos-t' + o,i5~i'' cos-i-', le coefficient est l'unité quand, à une déclinaison nulle des deux astres, correspondent des valeurs de i et i' égales à l'unité, c'est-à-dire quand les astres sont à leurs moyennes distances absolues.
» Suivant la conception de Laplace, il s'agit de la distance movenne de la Lune en svzvgie, distance svstématiquement diminuée par l'inégalité de la variation, en sorte que, dans le cas des svzvgies d'équinoxe, le coefficient serait l'unité.
» Nous pouvons remarquer encore que le coefficient moyen, obtenu en considérant toutes les syzygies indifféremment, est 0,94.
)) En opérant pour les quadratures des réductions analogues entre le
terme constant lunaire et celui de la variation, d'une part, et entre le terme parallactique lunaire et celui de l'évection, on obtiendra la formule suivante, exprimant approximativement les coefficients des marées de morte eau :
0,43 r zp o.or);^ sin(A — p) — o.O'yS cosih.
» Le signe — se rapporte au premier quartier, le signe + au dernier quartier. Le coefficient moyen des marées de morte eau est donc o,43.
» Les chiflres moyens adoptés jusqu'à présent, d'après le dépouillement empirique des Tableaux publiés par V Annuaire des marées, étaient, pour les syzygies, o,g3, et pour les quadratures, o,45.
» La dernière formule donnerait, pour le coefficient minimum, 0,26. »
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la réduction des intégrales doubles de fonctions algébriques . Note de M. E.iule Picard.
« Dans une Note récente (^Comptes rendus, if\ janvier 1898), je me suis occupé de la réduction des intégrales doubles de la forme
(I) JJ'Mi.,y,.)d.dy |^(,,^,,^ ,),,.
M étant un polynôme en x, y et z. J'ai montré, en particulier, que le degré du polynôme M pouvait être ramené au degré 2m — 4 (en désignant par m le degré de la surface/^), et c'est de là que je pars pour évaluer le nombre des intégrales doubles de seconde espèce. En fait la réduction, au point de vue du degré du polynôme M, est en général susceptible d'être poussée plus loin ; cela tient à ce que l'inégalité fondamentale dans cette réduction (voir page 299 de ce J"ome) peut être remplacée par une inégalité qui limite davantage l'entier/j. Au lieu de l'inégalité écrite (^loc. cit.), on devra envisager celle-ci
(p -H i)(/-' -h 2)(/.> -h 3) ip — m-h 2){p — m -\-'6){p— m + ^) 3 6
^ {p -h m — \)in{m— 1) ^ ^•
» Si/^o désigne le plus grand nombre entier positif pour lequel cette inégalité n'est pas vérifiée, le degré de M peut être réduit à p^. La valeur précédemment indiquée 2m — 4 est supérieure kp^, mais la valeur de p^,
( "ï7 ,) est une fonction de m qui n'est pas susceptible dune expression simple; aussi, au point de vue des réductions ultérieures, il est préférable de partir du degré 2.m — 4. La recherche du degré minimum peut toutefois, dans certains cas, présenter quelque intérêt. »
CHIMIE ORGANIQUE. — Sur quelques dérivés de la télraméihyl-diamidobenzophénone. Note de M. E. Grimacx.
« La tétraméthyl-diamido-benzophénone
' \C''H'Az(CH')-
fournit, comme on le sait, un grand nombre de matières colorantes (violet cristallisé, bleu Victoria, auramine, etc.). J'ai voulu savoir quelle serait l'influence, sur la nature des couleurs, de l'introduction du brome et du groupe AzO^ dans la molécule de la tétramélhyl-diamido-benzophénone, et, à cet effet, j'en ai préparé le dérivé dinitré et le dérivé dihromé.
» Der ne dimlre : C0{ ^.„,}, --,,(, /,,rT3\.' — O" dissout la cetone \C°H'(AzO-)Az(CH')- ,
dans 20 parties d'acide sulfurique ordinaire, on ajoute 2 molécules d'azotate de potassium, on mélange intimement et on laisse en contact vingt-quatre heures; on verse alors dans l'eau et l'on sature la solution parle carbonate de sodium. Le précipité dont le poids correspond au rendement théorique est une poudre orangée que l'on purifie en la dissolvant à l'ébullition dans 20 parties d'acétone, et ajoutant à la solution son égal volume d'eau tiède. Il se sépare peu à peu de petits cristaux orangés qu'on peut obtenir assez volumineux en les redissolvant dans l'acétone et abandonnant la solution à l'évaporalion lente; ils sont orangés, présentent beaucoup d'éclat et ressemblent au bichromate d'ammoniaque. Ils fondent à 1 (35°- 166".
» La nitration ayant été faite en présence d'un grand excès d'acide sulfurique, il est probable que les groupes AzO* se sont placés en meta, et que le dérivé dinitré doit être représenté par la formule
Az(CH^)= Az(CH3)^ /\ /\
Il II
AzO^I /' 1^^' AzO^
» Réduit au bain-raarie par un mélange d'acide chlorhydrique et de chlorure stanneux, il fournit une base incristallisablequi, par dessiccation, se convertit en une résine dure, facile à pulvériser, fusible entre 66" et 69°, et donnant un picrate cristallisé.
>) Dérivé hromé. — On prépare le dérivé brome de la cétone en la dissolvant dans 10 parties de chloroforme et y ajoutant peu à peu 2 molécules de brome. On chasse le chloroforme au bain-marie et l'on reprend le résidu par l'acide chlorhydrique étendu de son volume d'eau. Les solutions acides sont précipitées par l'ammoniaque; le précipité blanc, après dessiccation, est cristallisé dans iS parties d'alcool bouillant.
» La cétone dibromée
