C. R., 1S9S, 1" Semestre. (T. CXXVI, N
manière suivante :
'sa-
• 3';,lIv3'/;Vv
OU
V^ej — eî\^i — ^2 ' V'^i — «"2 ye^—el \/e., -
(3) m; == ^^v,+ Ï9rfu,+ rflogG,. (7 = o, 1, 2. 3)
» C'est de ce système orthogonal que découlent les relations caractéristiques
( P/.= — i(î.,,,m,, c' = — irn,,,
» La substitution de ces relations transforme les identités (2) en
iVj = — /n^ + <7'.|,o!J, /»',' + «',.,«3., w" + «',3«''|:, "''s-
» En combinant ces relations aux identités (i), on obtient le théorème : 11 II. Entre les éléments d un système composé de deux systèmes orthogonaux qui s'expriment au moyen des fonctions sigma d'un seul argument existent les relations caractéristiques suivantes :
— £«3^= 4, p, + 4. p^ + ih^Ps - ilh;< {h = I, 2, 3)
et les expressions rrî-, m"j sont définies par les formules (3).
( '129 ,) » Si l'on pose, de plus,
(ï) 2T=^ /„,„/>,„/?„ -f-const.,
M Les arguments u., elA\ étant fonctions d'une seule variable /, les identités différentielles
(la.,!,— a^^Pi— a^iPk conduisent au théorème :
') III. Les expressions des éléments du système (a, „„) élahlies par M. F. Caspary (voir Comptes rendus, t. CVII, p. 859-862; 1888) au moyen des fonctions sigma satisfont aux équations différentielles
d dT dT ùl . . , - .dl,,, ih,kj=i,2,3
dtW.^P'Wr-P'^¥,~'''''P''''"P'^^^'^' 2,3,1
3,1,2) où l expression T est définie par la formule (5).
M II reste encore à établir les relations qui existent entre les intégrales de ces équations différentielles. Elles découlent immédiatement des identités algébriques
combinées aux relations (6^.
i> Les problèmes qui conduisent aux équations différentielles que je viens d'établir trouvent leurs solutions complètes par lesdites expressions de M. F. Casparv. Tout particulièrement, on retrouve ainsi les résultats dus, dans le problème de la rotation d'un corps grave de révolution suspendu par un point de son axe, à Jacobi, Lottner, Hermite, Hess, Halphen et Darboux. »
MÉCANIQUE. — Sur les fonctions potentiel/es de la théorie de r élasticité. Note de MM. Ecgène et François Cosserat, présentée par i\I. Emile Picard.
(i M. Somigliana parait avoir, le premier, examiné si les intégrales du système
(1) l,u+-'.-r —o, S.v -h '^-r —o, 1.av-+- '-.-j: ~ o.
f ii3o )
vérifiant dans un domaine les conditions de continuité fondamentales, sont des fonctions analytiques. Dans le cas où ^ + i = o, ces intégrales sont déterminées par la formule
(2) " = (=■ - =^0)^ - (7 - j„) jt + j:,
et par deux autres formules analogues, o étant une fonction harmonique et (j/ une fonction quelconque; de là résulte que, /(as) désignant une fonction dont la dérivée s'annule pour ce ^ o, les dérivées premières de la fonction y^(x) donnent des intégrales du système (i), où E 4- 1 = o, qui s'annulent en un point quelconque de la surface a = o. Les formules telles que (2) ont leur origine dans ce fait que l'équation de La place possède les transformations infinitésimales
(a + /ix^qz — ry)^ + {b ^- hy + rx - pz)^ +(^c-+-hz +py - qx)j-;
à cette même remarque on peut rattacher les nombreuses formules qui expriment explicitement, lorsque ^, + 1^0, toutes les intégrales analytiques du système (i) au moyen de fonctions harmoniques.
» Revenons, pour y insister, sur la saisissante analogie qui existe entre le système (i) et l'équation de Laplace. Les solutions de l'équation de Laplace, homogènes en x — a, y — b, z — c, qui ont le plus d'intérêt, dérivent d'une seule d'entre elles, savoir l'inverse de la distance r des deux points (ic, y, z), (a, b, c); les solutions analogues du système (i) qui sont données, pour E quelconque, par la formule
...s ,. ? 2 () /c)U, 0\'i (AV,
K^) iii- u,— 2[j(,,)^g-,-|'' oxy^d::^ '^ dy '^ ^jt
et deux autres formules semblables, où U,-, V,-, W, sont des solutions de l'équation de Laplace, homogènes en x — a, y — b, z — c, dérivent de même de la seule solution (^u' , v' , w') que l'on obtient en prenant
A, B et C étant des constantes arbitraires. Là ne se borne pas l'importance de lu fonction dirigée (u\v',w'); elle joue dans la théorie de l'élasticité exactement le rôle de l'inverse de rdans celle du potentiel newtonieu; en la plaçant à la base des recherches des géomètres italiens, on rend plus frappantes les analogies déjà nombreuses qu'ils ont établies entre le système
( ii3i )
(i) et l'équation de Laplace et l'on a le moyen d'en ajouter beaucoup d'autres.
» Le système (i) se rattache, par le calcul des variations, à l'expression T de notre précédente Communication; désignons par — p=X-, — pU", — pi les premiers membres de ce système et définissons trois fonctions -f, ç, 3e par des formules telles que
(4) 3 = 1 — T-+m — T'-^^^T'' ^ ' '' ^ ou , ou ^ on
dx av az
où /, m, n sont les cosinus directeurs de la normale extérieure à la surface d'un domaine; puis formons pour un second déplacement («,, c,, «^, ) les expressions analogues — p^Y-i, — ?-Ji. — pi|, 5',, Ç,, 3C, ; nous aurons la relation
(5) ffflzx.u, ch + ffliu,ds = ffflz.x.,ud-: + ffl:î,uds
qui ne diffère pas essentiellement de celle de Betti relative au cas où X = Y = Z = — i.En reprenant ici avec la fonction dirigée (u', v' , tv) la théorie qtie l'on développe pour l'équation de Laplace avec l'inverse de r, on obtient la relation
(6) 4-(Aw + Br -f- Q.W) ^ fffl = X.u'd-: 4- fflSu'ds — fflfuds
qui donne une modification utile des formules de M. Somigliana.
» Chacune des trois intégrales du second membre de (G) peut se mettre sous la forme 4~(AU + BV + CW); la fonction dirigée (U, V, W) est, dans les trois cas, respectivement l'analogue du potentiel newtonien d'une masse à trois dimensions, du potentiel d'une simple couche et du potentiel d'une double couche. La première intégrale de (6) a été rencontrée par Lord Kelvin; M.\L Volterra et Lauricella ont établi qu'elle jouit à l'égard du système (i) des mêmes propriétés que le potentiel newtonien à 1 égard de l'équation de Laplace. Ajoutons que les constantes 4~A., 4"^» 4"C' peuvent être interprétées comme les composantes d'une /brce en un point à laquelle répond le déplacement («', /, w') et que les trois intégrales fj'.fds, fJ'Q'ds, ffx'ds, qui forment la notion analogue à l'intégrale de Gauss, sont nulles, respectivement égales à 4~A, 4~B, 4~C, ou à 2-A, 2-B, 2-C suivant que (a, b, c) est extérieur à la surface d'intégration, lui est intérieur ou situé sur elle. La secomle intégrale de (G) est identique,
( Il32 )
pour X = Y = Z = — .1, à la solution envisagée en iSpS par M. Poincaré; M. Lauricella a également démontré dans ce cas les propriétés de cette solution qui en font l'analogue du potentiel d'une simple couche; ces propriétés subsistent dans le cas général où nous nous plaçons. Enfin, désignons par ^iTzf^i^a, b, c) la troisième intégrale de (6), par 4~^i sa valeur en un point * de la surface d'intégration, par /jtt'Ï'j-j sa limite quand {a, b, c) tend vers * à l'intérieur de la surface, par 4~'I'<.î sa limite quand (a, b, c) tend vers s à l'extérieur; on a
(I),.j = $, + I (Au, + Bc, + Cu',), 1\s =^\ — i (Am, + Br, 4- Cws);
par contre, les fonctions définies par les formules telles que (4) pour U, V, W sont continues au passage de la surface, avec les restrictions connues; ces propriétés, démontrées par M. Lauricella dans le cas particulier où X, Y, Z sont égaux au rapport de — ^ à ^ + 2, lui ont servi dans son extension de la méthode de Neumann. Parmi les applications des fonctions potentielles (U, V, W) signalons les suivantes, qui se rattachent à la notion de force en un point : on peut substituer à une force en un point situé à l'intérieur d'une sphère, des forces sur la surface qui donnent à l'extérieur le même déplacement; on a ainsi l'analogue de l'une des propositions sur lesquelles repose la méthode du balayage de M. Poincaré. On peut aussi écrire presque intuitivement l'extension de léquation fonctionnelle de Robin. A une force en un point répond un déplacement qui engendre, dans un milieu élastique indéfini, un système isostatique; partageons ce milieu par un plan en deux parties dont l'une contient le point d'application de la force; la seconde partie ne subira pas de déformation, si l'on répartit sur le plan des forces données par l'extension de l'équation de Robin; ces forces engendrent à leur tour un système isostatique. »
PHYSIQUE. — Sur le transport des variations lumineuses au moyen d'un fil conducteur de l'électricité. Note de M. Dussaud, présentée par M. d'Arsonval.
« Ayant disposé deux faisceaux lumineux identiques, l'un en A, l'autre en B, je me suis proposé, au moyen d'un fil conducteur de l'électricité,
( ii33 )
d'obtenir dans le faisceau B les mêmes variations d'intensité que celles produites dans le faisceau A et ceci aux points correspondants. » Le dispositif suivant permet d'obtenir ce résultat :
1) Deux oblurateurs identiques, l'un en A, l'autre en B, percés de petites ouvertures à écartements fixes, mais à hauteurs décroissantes, tournent synchroniquement et fractionnent identiquement les faisceaux A et B.
» En A, des lames séléniées reçoivent successivement les faisceaux élémentaires. Ces lames sont disposées dans le circuit primaire d'une bobine d'induction dont le circuit secondaire constitue la ligne de transmission jusqu'en B.
» En B, se trouve intercalé, dans cette ligne de transmission, un téléphone dont la membrane agit, par un système multiplicateur, sur une plaque opaque pourvue de traits transparents. A côté de cette plaque, s'en trouve une identique, mais fixe, et dont les traits transparents correspondent aux parties opaques de la première.
)) Lorsque l'on observe en B le faisceau qui a traversé les deux plaques et l'un des obturateurs, on constate qu'il présente les mêmes variations d'intensité que celles produites dans le faisceau A qui a passé à travers l'autre obturateur et frappé les lames séléniées.
» En effet, en A, les faisceaux élémentaires d'intensité variable frappent successivement les lames séléniées qui, par leur cbangement de résistance, déterminent l'envoi de courants électriques proportionnés au téléphone placé en B.
» La membrane de ce téléphone vibre en conséquence, déplace plus ou moins la plaque mobile devant la plaque fixe et fait varier ainsi l'intensité du faisceau lumineux. Cette intensité varie également dans tout l'ensemble du faisceau ; mais grâce aux obturateurs synchrones, l'observateur en B ne perçoit cette variation qu'à la place correspondante à celle où elle a eu lieu dans le faisceau A, et comme tous les faisceaux élémentaires passent dans un dixième de seconde, l'observateur croit voir le faisceau tout entier avec les intensités voulues en chaque point.
« En substituant au faisceau A une chambre noire dont l'obturateur mobile constitue le fond, on peut projeter sur le bloc sélénié l'image d'objets très simples, très éclairés, et même, s'ils sont en mouvement, les reconnaître avec plus ou moins de facilité en B. »
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ÉLECTROCHIMIE. — Sur V influence de la self-induction dans l'explosion des mélanges de grisou et d'air par l'étincelle électrique. Note de MM. H. CouRioT et J. Meunier, présentée par M. Troost.
« L'explosion des mélanges grisouteux étant déterminée par l'étincelle de rupture ('), toute cause qui tend à accroître la self-indiiction du circuit doit, par ce fait, faciliter l'explosion.
» Dans nos premiers essais sur ce sujet, nous nous sommes servis d'une bobine de self-induction à gros fil et de faible résistance et nous l'avons intercalée dans la dérivation de l'exploseur. L'explosion, que nous évitions précédemment avec des courants d'intensité inférieure à l'intensité limite pour la résistance remployée, s'est alors produite d'une manière constante. Nous n'avons pu l'éviter, même en diminuant autant que possible l'intensité et la résistance. Il était nettement démontré |)ar ce résultat que l'accroissement de self-induction exerce une influencesur la production de l'explosion, mais il était impossible de l'évaluer par cette méthode, car la selfinduction de la bobine nous était inconnue et d'ailleurs d'un ordre trop élevé ; il aurait fallu, par suite, pour éviter l'explosion, employer des courants tellement faibles qu'ils auraient été impuissants à porter les filaments à l'incandescence.
» Nous avons pensé qu'il était préférable de remplacer la bobine par un long cylindre de bois deo",o5 de diamètre, autour duquel nous avons enroulé sous forme de spires une partie de notre conducteur. De la sorte, les résistances des deux dérivations demeuraient les mêmes qu'avant l'enroulement, le nombre des spires nous était connu, il était facile de le faire varier et de modifier à notre gré le sens et le mode de l'enroulement.
» Détermination de la self-induction. — En nous appuyant sur les principes établis dans notre Note précédente, et grâce à cette disposition, nous sommes arrivés à déterminer facilement l'effet de la self-induction. Soit / l'intensité limite qu'il ne faut pas dépasser pour éviter l'explosion avec des valeurs déterminées de la résistance rde la dérivation de l'exploseur et du
rapport — ; quand une portion du conducteur qui forme cette dérivation
(') \oir nos deux, précédentes Notes {Comptes rendus, t. GXX\'I, p. -5o et 901 S98).
( ii3ô )
est enroulée sur le cylindre de bois, l'explosion se j^roduit ile nouveau et il est nécessaire de diminuer l'intensité du courant pour qu'elle cesse de se produire. L'enroulement des spires a donc produit un certain abaissement de l'intensité limite; nous le déterminons en agissant sur le rhéostat par lequel arrive le courant principal de manière à diminuer l'intensité dans les déi'ivations jusqu'à ce que l'explosion n'ait plus lieu. Après quelques tâtonnements, la nouvelle limite est fixée. Cette opération peut être aussi recommencée en conservant les mêmes conducteurs, mais en changeant le nombre des spires, ce qui conduit à une limite correspondante.
» La quantité dont il faut abaisser l'intensité primitive pour ne plus provoquer l'explosion peut être considérée comme mesurant l'effet de la self-induction due à l'enroulement.
» Voici les valeurs qui se rapportent au Tableau que nous avons donné précédemment :
Inlensités Nombre Aliaisscnienl
limites. despires, de l'ii)tensilc lijiiilc.
Hliiiis an»p spiies amp
» D'après les chiffres ci-dessus, l'effet parait d'autant plus marqué que l'intensité du courant employé est plus forte; en outre, avec la dernière résistance, l'abaissement de l'intensité limite serait de o=""i', i pour loode nos spires.
» Annulation des e[f'ets de self -indue lion. — Les réstdtats précédents ont été obtenus avec des spires simplement enroulées les unes à la suite des autres. Nous avons recommencé les expériences en enroulant le conducteur sur une même rangée, mais la moitié dans un sens et l'autre moitié dans l'autre sens. Voici 1' s résultats observés :
'■=:'''= 3°'""% 3 3ÔO spires devtroisum 35o spires sinistrorsmii <=x4'""'*,5
/.olin
ooo » oôo 1) /=:3''™i',4
» Les valeurs des intensités limites sont demeurées ce qu'elles étaient dans le cas précédent. En conséquence, l'effet total reste sensiblement le
