AN

41 = M^, du '^

— Ba — N3.

-t- AB = o.

» Si le réseau est I, on pourra, par un choix convenable des variables, poser

d^ àv'

( >iH4 ) » Cela posé, considérons le déterminant orthogonal à cinq lignes

X, X^ .Tj .Xi x.^

Jl .ïi J3 Jl J5

dans lequel on a

-:l -tS -r:t

du dr

kl;

"^ = h:c-fY-kz -ni.

avec les relations

da , —- = hm, dv

de ,.

di- •'

dsr ,

-- = an,

àf

:- = en,

du o

nb -+- cf ■+-

, dm

du du

On voit que les relations (2) sont satisfaites si l'on pose

e = pcnso.

— /isino.

/ = />sino, m = M =

d-^ du'

/' Côsçi,

/> étant une constante arbitraire.

» Cela posé, menons, par l'origine, la droite D qui a pour cosinus directeurs a,, «o, a., et dans resj)ace à i) dimensions la droite D' qui a pour cosinus directeurs a:,, x.,, x^, x,,, -r^. Faisons correspondre sur ces droites les points qui sont à la même distance de l'origine. Les points correspon-

( ii85 ) danls M(X,, X., X,), M(Y,, Y^, ..., Y^) ont |)oiir coordonnées

X,= pa, (. = 1,2,3),

Yi=oXi (« = 1,2,3,4,5).

Les formules précédentes montrent que l'on a bien

» La congruence point décrite par la droite D est donc applicable sur la congruence point décrite par la droite D'. Cette congruence (D) est donc une congruence K et cela d'une infinité de manières puisque/? est arbitraire. Il en est de même évidemment de la congruence des normales à un réseau L qLii est parallèle à la congruence (D); donc :

)) Les normales d'un réseau I forment une congruence qui est d'une infinité de manières congruence K.

)) On en déduit le résultat suivant :

M Tout réseau I est C, 2C o« 3 C. En général un réseau I est 3C d'une infinité de manières.

)i Les réseaux C d'une telle congruence sont aussi 2('.. Ils |)ermetlent donc de trouver de nouveaux réseaux I. C'est une transformation des surfaces isothermiques que j'ai déjà indiquée dans ma Note sur le problème de M. Bonnet.

» J'examinerai, dans de prochaines Notes, le cas où le réseau I est celui d'une surface minima ou celui d'une surface à courbure totale constante. Ces cas particuliers sont intéressants parce qu'ils touchent à la déformation des quadriques de révolution. »

ANALYSE MATHEMATIQUE. — Sur les équations différentielles du second ordre à points critiques fixes. Note de 'SI. Pal'l Paixlevé, présentée par M. Appell.

« Considérons une équation différentielle du second ordre

où R est une fraction rationnelle en y' ,y, dont les coefficients sont des fonctions analytiques de x. Le problème qui consiste 'a former toutes les équations (^1) dont les points critiques sont fixes se heurte à une difficulté qui peut sembler, à bon droit, insurmontable : l'existence possible de singu-

( ii86 )

larités esscnlielles mobiles. Les seules équations du second ordre (ou d'ordre supérieur) à points critiques fixes qu'on ait déterminées jusqu'ici (équations linéaires, etc.) sont des équations intégrables ou dont l'intégrale est une fonction des constantes de forme connue, forme qui met précisément en évidence la fixité des points critiques. Montrer qu'une équation du second ordre a ses points critiques fixes, sans rien savoir d'ailleurs de son intégrale, c'est là une question d'une nature toute nouvelle et qui échappe aux méthodes proposées jusqu'ici pour l'étude des équations différentielles.

)) Je voudrais indiquer, dans cette Note, une méthode qui m'a permis de former de telles équations différentielles et qui me semble entraîner des progrès importants dans la détermination de toutes les équations (i) à points critiques fixes.

» Tout d'abord, l'intégrale y{x) de (i) ne doit pas admettre de points critiques algébriques. Il s'ensuit (comme il est bien connu) que R est un polynôme en y du second degré au plus :

» A priori, y peut figurer à un degré quelconque dans \, B, C. J'établis d'abord que y Jigure au sixième degré au plus. D'une façon précise, un changement de variables y = 9 (Y, X), x = 'K^)- — où «p est une fonction a/^e/^r/i/we très simple de Y, telle que la nouvelle fonction Y(X) ait encore ses points critiques fixes, — permet de ramener l'équation (i) à un des quatre types suivants, les Py désignant des polynômes de degré y enjK qui dépendent analyliquement de x :

( II ) yy" = y + .y' '^ + r*» <

(III) (4,y' - g.y - êOv" =y- ((^ j'- Ç) +.v'l\ + ^6 (g-2< g, const. numériques).

(IV) y(y - \)(y - ■r)y" = Ç [3v- - ^^'(i 4-.r) + xj + v'P, + V,.

» Si au lieu de supposer R rationnel en y. y, on suppose R rationnel en y et algébrique en y, il est loisible de mettre j" sous la forme

(2) v;' = ,H,v',v, ;,.rj,

où p est rationnel en y', y, :■, et où :: est lié à y par une relation algébrique (dépendant de x)

cela, de telle façon que :; soit rationnel en j', y, y" (pour or quelconque). J'établis que (pour x arbitrairement choisi) la courbe S(y, :;) := o est de genre zéro ou i ; si elle est de genre zéro, l'équation se ramène algébriquement à un des Lvpes(I), (II), (III), (I^') (qui doit avoirses points critiques fixes). Si elle est de genre i , l'équation se ramène algébriquement à l'un des deux types

-+- è,(a:)y=-f-5,(j;)y -t- ho(x) + b(x)\ R,

R = 4j» ' — giY — ^3 (^2. ^3 constantes numériques) ;

/îf^V' — 2>-(l-i-x')-}-X 2lo(x)"|

-y \r "ïR ^"v^J

avec

les a, b, c désignant des fonctions de x liées par la relation

2 0) + Oj + (7,07 -f- «2^- -t- .r(.r — i) (c,x -i- c„)^o;

dans (V) et (VI), aw est une période quelconque de la différentielle - =>

période qui peut être nulle.

» En définitive, toute équation (i), à points critiques fixes, où R est rationnel en y et algébrique en y, se ramène algébriquement à un des types (I), (II) (VI), type qui doit a^'oir ses points critiques fixes.

» Les équations {l), .... (VI), les plus générales, n'ont pas d'ailleurs leurs points critiques fixes. Pour qu'il en soit ainsi, de nouvelles conditions sont nécessaires, qu'on ne peut obtenir qu'en étudiant séparément chacun des six types précédents. J'ai pu élucider complètement l'étude du type (I) el former explicitement toutes les équations (I) à points critiques fixes. Je reviendrai ultérieurement sur ces équations, me bornant ici a les signaler comme le premier exemple d'équations à points critiques fixes dont on ne connaisse pas la forme de l'intégrale générale relativement aux constantes.

c. R., iSgS. 1" Semestre. (T, CXWI. N» 17.) 1^4

( ii88 )

» La méthode peut s'étendre aux types (I), (III) et (IV) et, bien que je n'aie pas achevé cette discussion, je l'ai poussée assez loin pour en présumer les résultats : i° Toute équation (i), ou R est rationel en y', y, si elle a ses points critiques fixes, ne saurait présenter de singularités essentielles mobiles; i° les conditions pour qu'une équation (O ait ses points critiques fixes sont algébriques.

» Il en est tout autrement si R est rationnel en y' et algébrique en y. Les équations du type (V) ou (VI) (si w n'est pas nul) présentent sûrement des singularités essentielles mobiles, et les conditions pour que les points critiques soient fixes sont transcendantes.

» Je me suis borné, pour plus de clarté, aux équations (i) où y" est rationnel en y'; mais la méthode s'étend à une équation cpielconque atgé- ■ brique en y", y', y. Soit

une équation du second ordre où F est un polynôme en y", y', y, de degré Tw en y"; je montre notamment que, si l'équation a ses points critiques fixes, F est de la forme

P'« j'"" +y"""' \y-^-u„- , +ypi'„ + P!,'^,^.] +• • • + \y""'PTJ, +y'"-""' v'z., -+- . . .-f- p,";;] = o.

les Vj désignant des polynômes en y de degré j au plus, qui dépendent de x. Si l'équation (4) peut se mettre sous une forme entière en y' ,y" , dont les coefficients soient algébriques en y, l'irrationnelle :;(y, .r), dont dépendent ces coefficients, vérifie (pour toute valeur de x) une relation o = S (s, r, x) de genre zéro ou i . Plus généralement, si (pour toute valeur numérique x de a?) les coordonnées u, z d'une courbe algébrique T( u, z, a) = o s'expriment rationnellement en y", y', y, la courbe T = o est de genre zéro ou t . »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les groupes qui se présentent dans la géné- ■ ralisation des/onctions analytiques. Note de M, P. Meoolaghi, présentée par M. E. Picard.

« Les systèmes d'équations aux dérivées partielles, dont M. Picard a donné la loi de formation (Comptes rendus, 1891, et Journal de Math., 1892) et qui généralisent les équations de la théorie dos fonctions d'une variable

( i'89) complexe, représentent, d'après M. Lie, îles groupes continus qui peuvent être finis ou infinis.

» Ces groupes possèdent le sous-groupe des translations. En effet, si les équations

o, (rt, ,,..., a„„) := o, 0.^=0,

représentent un sous-groupe contenant la substitution unité, de

elles sont satisfaites par le système de valeurs

Les équations de 31. Picard, dont je conserve les notations, sont donc satisfaites par P,= a-,-i-c,. Inversement, si un groupe contient toutes les translations, il est un des groupes de M. Picard. Pour la démonstration j'observe que les équations de définition des transformations infinitésimales de chaque groupe continu ont la forme {Engel. math. Ann., Bd. 27)

VO i s -tP^^. Jrr,,,...,r,.„^=SlJ-p {k^,,...,m), ^ ' .â^ ^^ ajc\ . . . ox',;^ '•' "" •— rf aJTi ^ ' /'

et que les éf[uations des transformations finies sont alors

( 2 ) J, [rr, (y), ..., r,,,, , v), !gi, . . . j = rT,( .r ) (/• = I m),

en désignant, pour abréger, par cj(j') une fonction cj(j',, v-, • • -, v„V Puisque les (i) sont satisfaites en posant pour ;,, . . ., ç„ des constantes arbitraires, il faut que cr,, ..., cj,„ soient aussi des constantes. Alors les équations (2) ne renferment plus que les dérivées; elles forment donc un système de Picard.

» D'après un théorème de Lie on peut dire que :

» La condition nécessaire et suffisante pour qu'un groupe continu (^transitif^ soit semblable à un des groupes de M. Picard est qu'il contienne un sousgroupe transitif de transformations permutables.

» Est-il maintenant possible d'étendre la méthode de Picard à tous les groupes continus? En poursuivant des idées de3L Engel j'ai donné (Anna/i di Malematica, 1897) le moyen de former les systèmes (2) les plus

( I '9" ) Généraux. Celle mclhode se ramène à )a méthode de Picard par le théorème suivant :

» Soit an groupe Iransilif

en considèraiU tous les groupes

.Va = ?a(,V' ' Vm; « ' ««) {k=i,...,m)

isomorphes à (3), et posant chaque fois

Ca=?a(c,, ..-.c,,,; a ,a„)

(e,, ...,c,n constantes arbitraires), on obtient tous les systèmes de relations entre les paramétres a, , .... c/„ qui représentent des sous-groupes de (3).

). Dans ses recherches, M. Picard suppose pourtant que le nombre des équations soit au moins égal au nombre des fonctions inconnues. On peut ôter cette restriction, en démontrant que les systèmes quiont moins d'équations que de fondions inconnues se réduisent aux trois types suivants :

(j(Pi, ...,\\,) d{Xi, . . ., x„)

MÉCANIQUE APPLIQUÉE. — Sur la résistance des massifs épais. Note de M. Ribièise, présentée par M. Sarrau.

« Dans les cas simples envisasjés par notre Note insérée au n° 5 des Comptes rendus de 1898 les efforts de flexion des pièces épaisses s'écartent considérablement de la loi (Hle du trapèze dès que la hauteur de la pièce dépasse le cinquième de sa longueur.

» Il semble dès lors qu'il faille abandonner l'emploi de cette loi, ou plutôt de cette hypothèse, dans le calcul de la résistance des massifs tels que barrages, murs, etc. pour lesquels on l'applique encore fréquemment.

» Mais par quoi la remplacer?

» Les remarques suivantes paraissent donner à cet égard , au moins pour certains cas, une indication importante.

( '19' ) » Reprenons la poutre définie dans la Note précitée. Soient

N; -- '^INI coswj: et N, ^ > Ncos/?2a-

la charge de la face supérieure et l'ensemble des réactions des appuis sur la face inférieure qui font équilibre à cette charge. D'après les formules rappelées dans ladite Note, la dilatation 0 a pour expression

0 = ^cosrnx- (a, (■'">— b.e-"");

sa valeur pour la face supérieure v = -i- h est

cos ntx

E'im/i — Sm-fit — I dont la limite, très rapidement atteinte quand h croit, est

» Il en est de même pour la face inférieure, de sorte qu'on a, pour

2tJ.

à une constante près.

» On sait que, d'une façon générale.

N, + N2= 2(a-)- a»e= 4^9, en supposant 1 =: y..

» Il en résulte que N, = N., à une constante près.

» On arrive à des résultats analogues en considérant, au lieu de poutres d'une largeur indéfinie, des plaques parallélépipédiques de dimensions horizontales ia, 2.b et de hauteur 2c. Soient, dans ce cas.

\ Jl cos/72a?cos/i y et N3 = /^N

cosmxcos/i V

la charge de la tace supérieure et l'ensemble des réactions sur la face inférieure. Ou trouve de la même façon que, si Ton fait croître la

hauteur h. la dilatation 0 tend rapidement vers la valeur de ^i à une

constante près, tant pour la face supérieure que pour la face inférieure. On sait, d'autre part, que

N, -i- N\ 4- N3 = ( '3 a -+- 27.)9 = o'j.h, en supposant ). = y..

Par suite N, -h 'N., tend rapidement vers i, jNj poury = ±: A, à une con-

( iMP ) slante près. D'ailleurs, on démontrerait facilement que N, et Nj sonr représentées par deux séries dont cliaque terme s'obtient par la multipli-

cation du terme correspondant de N^, pour N, par — ^ -, pour N^ par

m- -+- II-

» Les résultats ci-dessus sont indépendants de l'encastrement supposé des poutres ou plaques sur leurs appuis, lequel s'exprime en faisant, pour

les poutres m = —■< et pour les plaques in= —, n^= -^, i étant égal aux

nombres entiers successifs. Les conclusions seront les mêmes si l'on prend

m =^ et 72 = -, Dans ce cas, 1 etiort tano;entiel 1, au lieu

d'être nul, devient très important pour a- ^= ± a, y =^ ± b . On peut aussi faire toute autre hypothèse sur la forme des valeurs de m et de n.

» Il est donc établi que, dans des catégories de cas très étendues, les efforts maximum de traction ou compression dans les massifs parallélépipédiques considérés, efforts qui s'exercent à la surface, deviennent indépendants de l'épaisseur des massifs dès que cette épaisseur est comparable aux autres dimensions, et qu'à partir de ce moment la répartition des efforts N, et N., se déduit simplement de celle des efforts N^.

» A titre d'exemple, nous avons appliqué nos formules au cas de poutres encastrées d'une largeur indéfinie supportant soit une charge uniforme, soit une charge centrale. Les efforts élastiques aux divers points pour les

hauteurs — , -j a sont représentés par des courbes que nous avons l'honneur de mettre sous les yeux de l'Académie. On y voit que, dans le cas de pièces épaisses, les efforts sont relativement faibles dans l'intérieur de la masse et n'atteignent de fortes intensités qu'à proximité des points où sont appliquées des charges ou des réactions énergiques. '>

PHYSIQUE. — Sur un nouvel étalon lumineux ('). Note de M. Cii. Férv, présentée par M. A. Cornu.

« L'introduction, dans la pratique, de sources lumineuses à haute température rend de plus en plus difficile les mesures photométriques avec les anciens étalons, dont la teinte est toujours rougeàtre.

(' ) Travail fait à l'Ecole de l'hysique et de Cliiinie industrielles.

» Diverses méthodes très ingénieuses tendent à parer à cet inconvénient en faisant les comparaisons en lumière à peu près monochromatique ; tels sont les procédés de M.M. Crova, ^lacé de Lépinay et d'autres auteurs.

» On peut aussi rendre plus facile la photométrie hétérochrome par l'emploi d'étalons dont la température et, par conséquent, la teinte se rapprochent des sources lumineuses actuelles. C'est dans cet esprit que MM. Violle et Broca ont proposé des étalons à l'acétvlène et à la naphtaline.

» En dehors de ces considérations, les conditions requises pour un étalon de lumière ont une grande simplicité permettant de reproduire aisément les conditions dans lesquelles doit fonctionner l'appareil, et aussi un dispositif permettant la détermination facile et exacte du combustible brûlé.

» Pour réaliser ces conditions, j'emploie l'acétylène brûlant à l'air libre, à l'extrémité d'un tube de thermomètre nettement coupé ('). Le diamètre intérieur du tube a o"", 5 et l'expérience m'a montré que des écarts de lo pour loo ne produisent que des variations négligeables de l'intensité.

» Cette disposition du brûleur ne se prête pas facilement à la mesure du débit qui est très faible (i''* à 6''' à l'heure).

» Cette détermination exigeait des compteurs spéciaux d'une grande sensibilité; d'autre part, l'intensité lumineuse est, comme dans tous les appareils à flamme, bien loin d'être proportionnelle au débit. La courbe qui représente la marche du phénomène présente, en effet, un point d'inflexion, ainsi qu'on pourra le voir sur les résultats numériques que je donne plus loin.

» Il est au contraire très facile de déterminer avec exactitude la hauteur de la flamme qui ne varie d'ailleurs que très peu de diamètre avec le débit. C'est ce qui explique pourquoi la courbe représentative des intensités en fonction de la hauteur du jet gazeux est si tendue. On peut alors, au voisinage du point d'inflexion, la confondre avec une droite de la forme

» Pour déterminer commodément et avec exactitude la seule variable de l'appareil, je me suis servi d'une petite chambre noire fortement dia-

(') Dispositif déjà appliqué par M. Ducretet à une lampe ordinaire à acétylène.

( "94 ) phragmée qui donnait, sur !e verre dépoli divisé en millimètres, l'image de la flamme en vraie grandeur. Cette disposition a déjà été recommandée pour les mesures photométriques où la bougie est employée comme étalon. » Voici les résultats obtenus dans une série d'expériences où une seconde flamme d'acétylène était employée comme étalon.

Hauteur Débil Intensité

la flamme. l'heure. observée. calculée. Erreur,

mm ]U

lo 2,o2 0,325 o,3i8 -t-0,007

25 AjsS i,38o 1,372 — 0,008

35 6,00 ')9io 2,076 — 0,166

» On peut donc admettre la proportionnalité de l'inlen.sité avec la hauteur de la flamme entre lo*"™ et aS™""; celte qualité de l'appareil est précieuse, en permettant par une seule lecture de connaître immédiatement son intensité.

» Je n'ai pas encore fait de mesures précises afin de déterminer la valeur absolue de l'étalon; je me propose d'étudier, avant de faire cette détermination, l'influence perturbatrice que peuvent avoir les impuretés renfermées dans l'acétylène commercial : azote, ammoniaque, hydrogène sulfuré et phosphore.

» En dehors de son emploi comme photomètre, l'appareil permettra d'évaluer rapidement la richesse d'un carbure commercial par la détermination du pouvoir éclairant du gaz qu'il fournit. »

ÉLECTRICITÉ. — Sur les forces électromotrices thermo-électriques dans le bismuth cristallisé. Note de M. Locis Perrot ('), présentée par M. Friedel.

c( I.a force électromotrice thermo-électrique dans le bismuth cristallisé varie, comme on le sait, suivant les directions.

» Elle est maxima quand le courant thermo-électrique traverse le bismuth perpendiculairement au clivage principal, et minima quand il le traverse dans le sens parallèle à ce clivage.

(') Genève, laboratoire de l'Université.

» Le rapport des forces clectromotrices dans ces deux directions et la valeur absolue de ces forces n'ont point été étudiés jusqu'ici avec assez de précision pour qu'on puisse les considérer comme connus avec quelque certitude. Matthiessen (') est le seul, sauf erreur, qui ait déterminé par un petit nombre d'expériences les forces électromotrices axiales et éqnatoriales de couples bismuth-argent, et trouvé que le rapport de la force axiale à la force électromotrice équatoriale était de t ,4t en moyenne entre içf et 4-5° environ.

» La difficulté d'obtenir de bonnes soudures entre un métal quelconque et le bismuth, sans altération de ce dernier, et la nécessité de pouvoir faire les mesures alternativement dans les deux directions principales sur un même cristal, obligent à substituer un simple serrage à des soudures adhérentes proprement dites. Pour parvenir à un bon serrage, permettant de réaliser un degré d'accolement constant malgré de fréquents retournemenls à angle droit des faces du bloc de bismuth entre deux lames d'un second métal, il faut disposer de surfaces de contact assez étendues. Or il est difficile d'avoir des blocs un peu volumineux qui soient parfaitement homogènes.

» Ayant fait cristalliser du bismuth pur par lent refroidissement dans un four Perrol, j'ai réussi à détacher du culot ainsi obtenu des fragments limités par de grandes surfaces de clivage très nettes. En taillant à la scie des parallélépipèdes, j'ai pu m'assurer que, dans toute leur masse, les feuillets de clivage conservaient une même direction. En effet, les éclats clivés qui se détachaient extérieurement au trait de scie montraient par leur régularité que les plans de clivage se prolongeaient dans l'intérieur des parallélépipèdes d'un bout à l'autre.

M L'un des parallélépipèdes {g) mesurait : i4°"°, 40; i^""',!^; 20™'". L'autre (p^ : 9°"", 47; 10™™, 70; 19"™, 5o.

» Un système de serrage à vis, 1res simple, m'a permis de réaliser praliquemenl une adhérence par pression parfaitement constante entre cuivre et bismuth. La

(') Matthikssex. Pogg. Ann., i858, t. CIII; p. 412. — Dans les pages 424, 425 de ce Mémoire il y a une interversion d'ordre tjpograpliique qui jette de la confusion dans les grandeurs relatives axiales et équaloriales. Mais on voit bien par son Tableau résumé que pour Matlhiessen, comme dans les expériences qualitatives de tous les autres auteurs, la force électromotrice suivant l'axe (force éleclromotrice || ) est la plus grande.