LEURS POINTS CRITIQUES FIXES, SONT LES SUIVANTES

(A) y" = y'\ — ^ ) + a{x)Y'-t-b{x)^IB.,

avec

R = 47' - g^y — g3 (g-2' gi constantes numériques, i-j gl — g\^ o),

(B) r=r-[''-"l'r'^'] +y U-^ - ri; - i) ~ î^^^f^ ^«Wv's.

avec

R = 4 j' - ^27 - i^'s (^„ ^3 constantes numériques, 2-g\ — gl^o).

» Les équations (A), (B) n'ont comme singularités mobiles que des pôles; l'intégrale de l'équation (C) admet des points essentiels mobdes. Quand on choisit convenablement les constantes d'intégration, l'intégrale générale j'(a;) de (A) ou de (C) dépend algébriquement d'une des constantes (et d'une seule) : les équations (A) et (C) sont réductibles. Au contraire, l'équation (B) est irréductible au sens que j'ai défini (voir mes Leçons de Stockholm, p. 491-300) : son intégrale y(^x^ renferme les deux

c. R., 1898, i" Semestre. (T. CXXVI, N» 19.) '7^

constantes sous forme transcendante de quelle façon qu'on les choisisse (') Qoc. cit., p. 5o2-5i6).

» Étant donnée une équation (i), on peut d'ailleurs reconnaître algébriquement si c'est une équation à points critiques fixes appartenant au type (A) ou (B), et la réduction au type (A) ou (B) s'effectue sans intégration. On sait de même reconnaître algébriquement si une équation (r) est réductible à la forme (C), où a. est une constante quelconque, et effectuer la réduction algébriquement. Mais il faut encore que la constante a [qui

se calcule rationnellement d'après (i)] soit de la forme — > o) désignant une

période de la différentielle — = : cette dernière condition est transcendante.

» Dans la discussion précédente, toute la difficulté a consisté à pousser suffisamment loin la recherche des conditions nécessaires pour que les points critiques soient fixes. Ces conditions ont mis alors d'elles-mêmes en évidence la fixité des points critiques. Il en va tout autrement dans l'étude du type (I) : Les conditions nécessaires conduisent là à certaines équations canoniques, qu'on ne sait pas intégrer et sur lesquelles il faut démontrer directement que les points critiques sont fixes. Comme je l'ai dit déjà, j'ai complètement achevé cette discussion pour le tvpe (I). // ne me reste donc plus qu'à épuiser le type (II) pour avoir déterminé explicitement toutes les équations (i) à points critiques fixes . »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie générale des caractéristiques des équations aux dérivées partielles. Note de M. E. Goursat, présentée par M. Darboux.

« 1. La théorie des multiplicités caractéristiques a déjà été étendue de différentes façons à certains systèmes d'équations aux dérivées partielles d'ordre quelconque. En me plaçant à un point de vue que j'avais indiqué à la fin de mesLeçons sur les équations du second ordre (t. II, p. 33o), j'ai obtenu un certain nombre de résultats que je me propose de résumer dans cette Note.

» Soit

(') L'équation (B), dans le cas de a ^ o, a été formée directement par M. Picard {Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables, p. i65).

une équation d'ordre n k r variables indépendantes x,, cc.^, ..., x^el k une fonction inconnue:;; nous poserons

» Étant donnée une intégrale de cette équation ; = <I>(a-,, x.,, ..., 0:^), les équations différentielles

y s dXf rfxo (f.v,.

où X,, 7.0, . . .,y.r sont des fonctions déterminées de x,, x.^, .... x^, - et des dérivées partielles de ^jusqu'à l'ordre/?, déterminent sur cette intégrale une famille de multiplicités à une dimension d'éléments d'ordre n. Le long de l'une de ces multiplicités, on a, outre les équations (2), les relations évidentes

(3) rfF = 0, ^/'a,:(....a. = /'a,+,.a,...aya;, -{-... 4- ;Oa,o<....^.,y-ï'r

(a, -t-Kj -1-. . .-f- x^Sn — i).

» S'il est possible de choisir les fonctions 1,, l.,, . . ., V de façon à pouvoir ajouter aux relations (2) et (3) un certain nombre d'équations différentielles nouvelles, indépendantes de l'intégrale considérée $, j'appellerai caractéristique tout système simplement infini d'éléments d'ordre n, vérifiant l'ensemble d'équations différentielles ainsi obtenu. La condition pour qu'il en soit ainsi est la suivante : Considérons la forme algébrique d'ordre n

(4) I = iP,„,..,J^'?^=...^:^ (^, 4 a,+...+ x,= ,^),

où H,, ^2» • • •» sr sont r variables auxiliaires; pour que l' équalion{i) admette une famille de caractéristiques d'ordre n, il faut et il suffît que la forme I soit divisible par un facteur linéaire en ii,^,» •••> ^r-

» On voit qu'en dehors des deux cas évidents de n = i et de r ^ 2, les équations qui admettent des caractéristiques à une dimension, telles que nous venons de les définir, doivent être considérées comme exceptionnelles.

» Je citerai comme exemple l'équation du troisième ordre dont dépend la recherche des systèmes triples orthogonaux.

» 2. Si l'équation F = o admet une famille de caractéristiques d'ordre n à une dimension, on peut aussi considérer la suite des valeurs prises par les dérivées d'ordre n + i , « + 2, . . ., le long de l'une de ces caractéristiques, et l'on définit ainsi les caractéristiques d'ordre /i-f-i, d'ordre

( '334 ) « + 2, .... Les équations différentielles d'un quelconque de ces systèmes de caractéristiques ne suffisent pas, lorsque /i > i , pour déterminer complètement ces caractéristiques, qui dépendent de fonctions arbitraires. Mais si ces équations présentent des combinaisons intégrables, on peut s'en servir pour l'intégration de l'équation proposée, comme dans la méthode de Monge ou dans celle de M. Darboux, pour l'intégration d'une équation du second ordre à deux variables indépendantes. Ainsi : i" si du = o est une combinaison intégrable de l'un des systèmes de caractéristiques, les deux équations F = o, m = C ont une infinité d'intégrales communes dépendant de fonctions arbitraires; 2° si l'un des systèmes admet r combinaisons intégrables distinctes r/w, = o, du.,=^o, ..., du,.= o, l'équation proposée? = o admet une intégrale intermédiaire, qui pourra être d'ordre supérieur à n,

Ur = (lj>(Ut^ U.,, .... '/,,),

ç désignant une fonction arbitraire; 3° si l'équation admet n familles de caractéristiques et si chacune d'elles présente r combinaisons intégrables distinctes, l'intégration de l'équation F = o est ramenée à celle d'un système d'équations différentielles ordinaires, etc.

» La forme I, qui joue ici un rôle fondamental, s'est déjà présentée dans des recherches récentes de M. Forsyth (' ); mais le point de vue auquel s'est placé l'auteur, ainsi que la méthode suivie, sont entièrement différents.

» 3. Toutes ces considérations peuvent s'étendre aux systèmes d'équations simultanées. Soient

F, = o, F, = o, . ., Vç^o,

q équations d'ordre n entre q fonctions inconnues z^, :-.,, .... z^ et r variables indépendantes a\, x.;,, . .., x,.\ nous poserons

et nous aurons à considérer les q"^ formes auxiliaires

(') Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. CXCl, p. 1-86; 1898. — Cambridge Philosophical Transactions, vol. XVI, part. IV, p. 291- 325; 1898.

» Soit I le déterminant de ces q- formes ^^j; nous laisserons de côté le cas où ce déterminant serait identiquement nul. Cela posé, pour que les équations (^[^) admettent une famille de caractéristiques à une dimension, il faut et il suffit que le déterminant I soit divisible par un fadeur linéaire en ç,,

'l,,...,lr.

» Lorsqu'il existe un pareil facteur, la discussion offre une grande variété de cas particuliers. En cherchant à former a ^nor/ les systèmes les plus simples possibles, on retombe sur les systèmes d'équations simultanées du premier ordre, considérés par Jacobi (^Journal de Crelle, t. 11, p. 32 1). Dans ce cas particulier, il n'existe qu'un seul système de caractéristiques, qui ne dépendent que d'un nombre fini de constantes arbitraires.

» 4. On est encore conduit à l'étude de la forme I par d'autres considérations. Soient F = o, U ^ C deux équations d'ordre n à une seule fonction inconnue ^ et à r variables indépendantes; nous dirons que l'intégrale générale de ce système dépend de (n — i) fonctions arbitraires de (r — i) variables, s'il existe une intégrale telle que, pour Xf^^x\, s et ses (n — 2) premières dérivées -r^) •••> .. „ t se réduisent à (n — i) fonctions données à

l'avance des r — i variables x.^, . . ., x^. Une première condition pour qu'il en soit ainsi est que les deux formes auxiliaires I, I', relatives à ces deux équations, soient divisibles par une même forme de degré n — i. L'équation F = o admet alors uue famille de caractéristiques d'ordre n à une dimension, et d\j = o doit être une combinaison intégrable des équations différentielles de ces caractéristiques. Si ces conditions sont remplies, l'intégrale générale du svstème F = o, U = C dépend de {n — \) fonctions arbitraires de (r — i) variables et d'une fonction ai'bitraire de /■ — 2 variables. »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations aux différentielles totales. Note de M. Alf. Gcldberg, présentée par M. Picard.

« Dans la théorie des équations aux différentielles totales on a, il me semble, un peu négligé l'étude directe des équations aux différentielles ■totales d'un ordre plus élevé que le premier.

» Je me permets de faire, dans les lignes qui suivent, quelques remarques sur ce sujet.

» Nous nous bornerons, pour fixer les idées, aux équations aux diCfé-

( i336 ) rentielles totales de second ordre et de la forme suivante : (I) d-z + kdx- -H B </>'"+ Cf/5- -(- iTidxdy + ^Edxdz. + 2F dy dz = o,

où Â, B, . . ., E, F sont des fonctions de x, y, z.

)) Si l'équation aux différentielles totales donnée (I) est satisfaite par une équation entre x, y, z,/(x, y, z) = o, on VaT[)pe]\e complclement intégrable.

» Les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation aux difterentielles totales donnée (I) soit complètement intégrable, sont

dJ- ds ' dy dx-

^f =DE-AF, ^-f =E^-AC.

dy dx ' az dx